120242024新高考新试卷结构数列的通项公式的新高考新试卷结构数列的通项公式的9 9种题型总结种题型总结题型解密题型解密考点一：已知考点一：已知Sn=f n，求，求an利用Sn=a1,n=1SnSn1,n2，注意一定要验证当n=1时是否成立【精选例题】【精选例题】1 1已知Sn为数列 an的前n项和，且Sn=2n+1-1，则数列 an的通项公式为()A.an=2nB.an=3,n=12n,n2 C.an=2n-1D.an=2n+1【答案】B【详解】当n2时，Sn-1=2n-1，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n；当n=1时，a1=S1=21+1-1=3，不符合an=2n，则an=3,n=12n,n2.故选：B.2 2定义np1+p2+p3+pn为n个正数 p1,p2,p3,pn的“均倒数”，若已知数列 an的前n项的“均倒数”为15n，则a10等于()A.85B.90C.95D.100【答案】C【详解】因为数列 an的前n项的“均倒数”为15n，所以na1+a2+a3+an=15na1+a2+a3+an=5n2，于是有a1+a2+a3+a10=5102，a1+a2+a3+a9=592，两式相减，得a10=5(100-81)=95，故选：C3 3(多选题)定义Hn=a1+2a2+2n-1ann为数列 an的“优值”已知某数列 an的“优值”Hn=2n，前n项和为Sn，下列关于数列 an的描述正确的有()A.数列 an为等差数列B.数列 an为递增数列C.S20222022=20252D.S2，S4，S6成等差数列【答案】ABC【详解】由已知可得Hn=a1+2a2+2n-1ann=2n，所以a1+2a2+2n-1an=n2n，所以n2时，a1+2a2+2n-2an-1=n-12n-1，得n2时，2n-1an=n2n-n-12n-1=n+12n-1，即n2时，an=n+1，当n=1时，由知a1=2，满足an=n+1所以数列 an是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B正确，所以Sn=n n+32，所以Snn=n+32，故S20222022=20252，故C正确S2=5，S4=14，S6=27，S2，S4，S6不是等差数列，故D错误，故选：ABC4 4设数列 an满足a1+12a2+122a3+12n-1an=n+1，则 an的前n项和()2A.2n-1B.2n+1C.2nD.2n+1-1【答案】C【详解】解：当n=1时，a1=2，当n2时，由a1+12a2+122a3+12n-2an-1+12n-1an=n+1得a1+12a2+122a3+12n-2an-1=n，两式相减得，12n-1an=1，即an=2n-1，综上，an=2,n=12n-1,n2 所以 an的前n项和为2+2+4+8+2n-1=2+2 1-2n-11-2=2n，故选：C.【跟踪训练】【跟踪训练】1无穷数列 an的前n项和为Sn，满足Sn=2n，则下列结论中正确的有()A.an为等比数列B.an为递增数列C.an中存在三项成等差数列D.an中偶数项成等比数列【答案】D【详解】解：无穷数列 an的前n项和为Sn，满足Sn=2nn2，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，当n=1时，a1=S1=21=2，不符合上式，an=2,n=1,2n-1,n2,所以 an不是等比数列，故A错误；又a1=a2=2，所以an不是递增数列，故B错误；假设数列 an中存在三项ar,am,as成等差数列，由于a1=a2=2，则r,m,sN*,2rm0恒成立，故式子1=2r-m-1+2s-m-1无解，an中找不到三项成等差数列，故C错误；a2n=22n-1(nN*)，a2(n+1)an=22n+122n-1=4 a2n是等比数列，即 an中偶数项成等比数列，故D正确.故选：D2对于数列 an，定义Hn=a1+2a2+3a3+nann为 an的“伴生数列”，已知某数列 an的“伴生数列”为Hn=(n+1)2，则an=；记数列 an-kn的前n项和为Sn，若对任意nN N*,SnS6恒成立，则实数k的取值范围为【答案】3n+1；227k196.【详解】因为Hn=(n+1)2=a1+2a2+3a3+nann，所以n(n+1)2=a1+2a2+3a3+nan，所以当n=1时，a1=4，当n2时，(n-1)n2=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，-：3n2+n=nan，所以an=3n+1，综上：an=3n+1，nN N*，令bn=an-kn=(3-k)n+1，则bn+1-bn=3-k，可知bn为等差数列，又因为对任意nN N*，SnS6恒成立，所以S6-S5=b60，S7-S6=b70，则有b6=3-k6+1=19-6k0，b7=3-k7+1=22-7k0，解得227k196故答案为：3n+1；227k196考点二：叠加法考点二：叠加法(累加法累加法)求通项求通项若数列 an满足an+1an=f(n)(nN*)，则称数列 an为“变差数列”，求变差数列 an的通项时，利用恒等式an=a1+(a2a1)+(a3a2)+(anan1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+f(n1)(n2)求通项公式的方法称为累加法。
精选例题】【精选例题】31 1数列 an满足 a1=1，且对任意的 m,n N*都有 am+n=am+an+mn，则1a1+1a2+1a3+1a201=()A.201101B.400201C.200201D.199200【答案】A【详解】已知am+n=am+an+mn，令m=1可得an+1=a1+an+n=an+n+1，则n2时an-an-1=n,an-1+an-2=n-1，a3-a2=3,a2-a1=2，将以上式子累加可得an-a1=n+n-1+3+2，an=n+n-1+3+2+1=n+1n2，n=1时也符合，则an=n+1n2，1an=2n+1n=21n-1n+1，则1a1+1a2+1a3+1a201=2 1-12+12-13+1201-1202=2 1-1202=201101.故选：A.2 2已知数列 an的首项 a1=2，且满足 an+1=an+12nnN*.若对于任意的正整数 n，存在 M，使得 an0，an3，若对于任意的正整数n，存在M，使得an0，an+1+an0，(n+2)an+1-nan=0，an+1an=nn+2an=a1a2a1a3a2a4a3anan-1=1132435n-2nn-1n+1=2n(n+1)(n2)，又a1=1满足上式，an=2n(n+1).故答案为：2n(n+1).2数列 an满足：a1=23，2n+2-1an+1=2n+1-2annN*，则 an的通项公式为.【答案】an=2n2n-12n+1-1【详解】由 2n+2-1an+1=2n+1-2an得，an+1an=2n+1-22n+2-1=22n-12n+2-1，则anan-1an-1an-2an-2an-3a2a1=22n-1-12n+1-122n-2-12n-122n-3-12n-1-1221-123-1=2n-132n+1-12n-1，即ana1=32n-12n-12n+1-1，又a1=23，所以an=2n2n-12n+1-1.故答案为：an=2n2n-12n+1-1.3已知数列 an满足a1=1，an+1an=n+1n.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn满足b2n=2an-24，b2n-1=2an-22.设Sn为数列 bn的前n项和，求S20.【答案】(1)an=n；(2)-240【解析】(1)因为a1=1，an+1an=n+1n，所以当n2时，a2a1a3a2anan-1=2132nn-1，则ana1=n，即an=n，当n=1时，也成立，所以an=n.(2)由(1)，b2n=2an-24=2n-24，b2n-1=2an-22=2n-22，则b2n+b2n-1=4n-46，则S20=b1+b2+b3+b4+b19+b20=41-46+42-46+410-46=41+10102-4610=-240.6考点四：用“待定系数法”构造等比数列考点四：用“待定系数法”构造等比数列形如an+1=kan+p(k,p为常数，kp0)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为 an+1+m=k(an+m)(其中：m=pk1)，由此构造出新的等比数列 an+m，先求出 an+m的通项，从而求出数列 an的通项公式。
精选例题】【精选例题】1 1已知数列 an的前n项和为Sn，首项a1=1且an+1=2an+1，若Sn+2n对任意的nN恒成立，则实数的取值范围为.【答案】3【详解】由题设an+1+1=2(an+1)，a1+1=2，则an+1是首项、公比都为2的等比数列，所以an+1=2n，则an=2n-1，Sn=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2，则Sn+2n=2n+1+n-2在nN上递增，所以(Sn+2n)min=22+1-2=3，要使Sn+2n恒成立，则3.故答案为：32 2(多选题)数列 an的首项为 1，且 an+1=2an+1，Sn是数列 an的前 n 项和，则下列结论正确的是()A.a3=7B.数列 an+1是等比数列C.an=2n-1D.Sn=2n+1-n-1【答案】AB【详解】解：an+1=2an+1，可得an+1+1=2 an+1，又a1+1=2数列 an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；则an+1=2n，an=2n-1，故C错误；则a3=7，故A正确；Sn=2 1-2n1-2-n=2n+1-n-2，故D错误.故选：AB.3 3已知数列 an满足递推公式 an+1=2an+1,a1=1.设 Sn为数列 an的前 n 项和，则 an=，4n+7-n-Snan+1的最小值是.【答案】2n-1；174【详解】因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2 an+1，所以数列 an+1是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，所以an+1=2n，所以an=2n-1；所以Sn=2+22+23+2n-n=2 1-2n1-2-n=2n+1-2-n，所以4n+7-n-Snan+1=4n+7-n-2n+1-2-n2n=2n+92n-2，由对勾函数的性质可得，当n=1时，2n=2，2n+92n-2=2+92-2=92；当n2时，2n4，所以y=2n+92n-2单调递增，当n=2时，2n+92n-2=4+94-2=174137的n的最大取值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【详解】解：因为an+1=an4an+1，所以1an+1=4+1an，所以1an+1-1an=4，又1a1=1，数列1an 是以1为首项，4为公差的等差数列所以1an=1+4(n-1)=4n-3，所以an=14n-3，由an137，即14n-3137，即04n-337，解得34n10，因为n为正整数，所以n的最大值为9；故选：C2 2已知正项数列 an满足a1=1，且anan+1=anan+1(1)求数列 an的通项公式；(2)记bn=an2n+2，记数列 bn的前n项和为Sn，证明：Sn0，由an-an+1=anan+1，可得1an+1-1an=1又1a1=11=1，则数列1an 是首项为1公差为1的等差数列，则1an=1+n-1=n，则数列 an的通项公式为an=1n(2)由(1)知an=1n，则bn=an2n+2=12n(n+1)=121n-1n+1则数列 bn的前n项和Sn=9121-12+12-13+13-14+1n-1n+1=121-1n+1由1n+10，可得121-1n+112，即Sn12【跟踪训练】【跟踪训练】1(多选题)已知数列an满足a1=1，an-3an+1=2anan+1(nN*)，则下列结论正确的是()A.1an+1 为等比数列B.an的通项公式为an=123n-1-1C.an为递增数列D.1an 的前n项和Tn=3n-n【答案】AB【详解】因为an-3an+1=2anan+1，所以1an+1+1=31an+1，又1a1+1=2。