重难点 选择压轴题（代数篇）目 录 题型题型 0 01 1 数与式的运算数与式的运算 类型一类型一 实数实数的运算及其应用的运算及其应用 类型二类型二 整式运算及其应用整式运算及其应用 类型三类型三 分式的计算及其应用分式的计算及其应用 题型题型 02 02 方程与不等式组方程与不等式组 类型四类型四 一次方程（组）及其应用一次方程（组）及其应用 类型五类型五 分式方程及其应用分式方程及其应用 类型六类型六 不等式与不等式组不等式与不等式组 题型题型 03 03 函数及其应用函数及其应用 类型七类型七 动点问题的函数图象动点问题的函数图象 类型八类型八 一次函数及其应用一次函数及其应用 类型九类型九 二二次函数及其应用次函数及其应用 类型十类型十 反比例函反比例函数及其应用数及其应用 类型十一类型十一 双函数的综合问题双函数的综合问题 题型题型 01 数与式的运算数与式的运算 类型一类型一 实数的运算及其应用实数的运算及其应用 1有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以12，再加 3”的运算.现在输入一个4x=，通过第 1 次运算的结果为1x，再把1x输入进行第 2 次同样的运算，得到的运算结果为2x，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果nx（）A越来越接近 4 B越来越接近于2 C越来越接近 2 D不会越来越接近于一个固定的数 2如图，在数轴上，点P表示1，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移 2 个单位长度到达点1P，第二次将点1P向左移动 4 个单位长度到达2P，第三次将点2P向右移动 6 个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点nP，给出以下结论：5P表示 5；1211PP；若点nP到原点的距离为 15，则15n=；当n为奇数时，12nnnPPP=；以上结论正确的是（）A B C D 3潼铜在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序的数：123,x xx，称为数列123,x xx计算121231,23xxxxxx+，将这三个数的最小值称为数列123,x xx的最佳值例如，对于数列2,1,3，因为()()212131422,2233+=，所以数列2,1,3的最佳值为12潼铜进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值如数列1,2,3的最佳值为12；数列3,1,2的最佳值为 1；经过研究，潼铜发现，对于“2,1,3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12；根据以上材料，下列说法正确的个数有 数列4,3,2的最佳值为53；将“4，3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列取得最佳值最小值的数列为3,2,4；将 2，9，(1)a a 这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列若这些数列的最佳值为 1，则满足条件a的值有 4 个 A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 4（2024重庆大渡口一模）(),a b c d表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，(),ab bc cd da+表示由它生成的第一个数组，(),abbc bccd cdda daab+表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记0Mabcd=+，第n个数组的四个数之和为nM（n为正整数）.下列说法：nM可以是奇数，也可以是偶数；nM的最小值是20；若010002000nMM，则10n=.其中正确的个数（）A0 B1 C2 D3 5一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数例如，11151 5=+，11 是一个“可拆分”整数下列说法：最小的“可拆分”整数是 5；一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；最大的“不可拆分”的两位整数是 96 其中正确的个数是（）A0 B1 C2 D3 6观察下列算式：11 2 3 4 15a=+=，22 3 4 5 111a=+=，33 4 5 6 119a=+=，它有一定的规律性，把第n个算式的结果记为na，则123711111111aaaa+的值是（）A12 B121360 C5391080 D119240 7对于任意实数x，x均能写成其整数部分 x与小数部分 x的和，其中 x称为x的整数部分，表示不超 过x的最大整数，x称为x的小数部分，即 xxx=+.比如1.71.71.710.7=+=+，1.71=，1.70.7=，1.71.71.720.3=+=+，1.72=，1.70.3=，则下列结论正确的有（）1233=；01x；若20.3x=，则2.3x=；1xyxy+=+对一切实数x、y均成立；方程 11xx+=无解 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 8我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n=pq（p，q 是正整数，且 pq），在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 pq 是 n 的最佳分解，并规定：F（n）=pq例如：12 可以分解成 112，26 或 34，因为 1216243，所以 34 是 12 的最佳分解，所以 F（12）=34如果一个两位正整数 t，t=10 x+y（1xy9，x，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那么我们称这个数 t 为“吉祥数”根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）=34；（2）如果一个正整数 m 是另外一个正整数 n 的平方，我们称正整数 m 是完全平方数，则对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）=1；（3）15 和 26 是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为34()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 类型二类型二 整式运算及其应用整式运算及其应用 9 对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：()()abcde+，其中称 a 为“数 1”，b 为“数 2”，+c 为“数 3”，d为“数 4”，e为“数 5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数 1”和“数 5”进行“换位运算”，得到：()()ebcda+，则下列说法中正确的个数是（）代数式()abcde+进行 1 次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变 代数式()()abcde+进行 1 次“换位运算”，化简后只能得到abcde+代数式()abcde+进行 1 次“换位运算”，化简后可能得到 7 种结果 A0 B1 C2 D3 10对多项式21234xx+添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”例如：()()22222235 2301234235 230 xxxxxxxxxx+=+，称对多项式21234xx+一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式2235xx+进行如上操作，称此为二次“绝对操作”下列说法正确的个数是（）经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为2235xx+；进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有 5 种；经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数 A0 B1 C2 D3 11关于 x，y 的二次三项式224,4xmxyx ymxyy+（m 为常数），下列结论正确的有（）当1m=时，若240 xmxyx+=，则4xy+=无论 x 取任何实数，等式243xmxyxx+=都恒成立，则7xmy+=若2245,47xxyxyxyy+=+=，则6xy+=满足22440 xxyxyxyy+的正整数解(,)x y共有 25 个 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12已知非负实数,a b c满足24,0ababc+=+B2bc C43ba D240bac 13对整式 2a 进行如下操作：将 2a 与另一个整式 1x 相加，使得 2a 与 1x 的和等于()21+a，表示为()22111=+=+maxa，称为第一次操作；将第一次操作的结果 1m 与另一个整式 1y 相减，使得 1m 与1y 的差等于 21a，表示为 22111=mmya，称为第二次操作；将第二次的操作结果 2m 与另一个整式 2x 相加，使得 2m 与 2x 的和等于()22a+，表示为()23222=+=+mmxa，称为第三次操作；将第三次操作的结果 3m 与另一个整式 2y 相减，使得 3m 与 2y 的差等于 222a，表示为224322=mmya，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：2613=+xa；575720+=yyxx；2022202124045=+xya；当 n 为奇数时，第 n 次操 作结果 212+=+nnma；当 n 为偶数时，第 n 次操作结果 222=nnma：四个结论中正确的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 14已知多项式22Axym=+和22Byxn=+（m，n 为常数），以下结论中正确的是（）当2x=且1mn+=时，无论 y 取何值，都有0AB+；当0mn=时，AB所得的结果中不含一次项；当xy=时，一定有AB；若2mn+=且0AB+=，则xy=；若mn=，1=AB且 x，y 为整数，则1xy+=A B C D 15下列四种说法中正确的有（）关于 x、y 的方程26199xy+=存在整数解 若两个不等实数 a、b 满足442222()()abab+=+，则 a、b 互为相反数 若2()4()()0acab bc=，则2bac=+若222xyzyxzzxy=，则xyz=A B C D 16已知三个函数：2()4T xxx=，()2G xx=，2()xF xx+=，下列说法：当()()16T xF x=时，x的值为 6 或4；对于任意的实数 m，n，若5mn+=，1mn=，则()()34 5T mT n+=；若()()3G xF x+=时，则2421746xxx=+；若当式子()T xax+中x的取值为2b与23b时，()T xax+的值相等，则 a 的最大值为 8 以上说法中正确的个数是（）A1 B2 C3 D4 类型三类型三 分式的计算及其应用分式的计算及其应用 17（23-24 九年级下浙江杭州）庄子天下云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”若设捶长为 1，天数为n，则（）A23111112222n+D23111112222nn+=18设 n 是大于 1909 的正整数，且19092009nn是某个整数的平方数，求得所有满足条件的 n 之和为()A1959 B7954 C82 D3948 19 有一组数据：()()12335721,1 2 32 3 43 4 512nnaaaan nn+=+记123nnSaaaa=+，则12S=（）A201182 B203180 C199198 D203184 20按顺序排列的若干个数：1x，2x，3x，nx（n 是正整数），从第二个数2x开始，每一个数都等于1 与它前一个数的倒数之差，即：2111xx=，3211xx=，则下列说法：若22x=，则912x=；若13x=，则123181922xxxxx+=；若1xa=，812102xx+=，则2a=；无论 m 为何值，代数式()12012181xxmxxx+的值恒为负其中正确的个数为（）A1 B2 C3 D0 21人们把510.6182这个数叫做黄金比，优选法中的“0.618法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果设512a=，512b+=，记111Sab=+，222222aabbSa b+=，()3333abSa b+=，依此规律，则6S的值为（）A5 5 B25 C6 5 D125 22阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的。