三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等2）项的分拆与角的配凑如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等3）降次与升次即倍角公式降次与半角公式升次4）化弦（切）法将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）5）引入辅助角asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定6）万能代换法巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式2、证明三角等式的思路和方法1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等4、解答三角高考题的策略1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值2、三角变换的一般思维与常用方法注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如．也要注意题目中所给的各角之间的关系注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等熟悉常数“1”的各种三角代换：等注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁熟悉公式的各种变形及公式的范围，如 sin α = tan α · cos α ，，等利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如，，等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化3、几个重要的三角变换：sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；1±sin α 可化为，再用升次公式；（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握。
4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．5、三角函数的图像的掌握体现在：把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图6、三角函数的奇偶性结论：① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数7、三角函数的单调性三、典型例题与方法题型一 三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取1、三角函数的六边形法则2、几个常用关系式：（1），三式知一求二3）当时，有3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）5、熟记关系式；例1】记,那么（ ）A、 B、﹣ C、 D、﹣解：,故选B评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.【例2】（ ）A、 B、- C、 D、解：评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。
练习：1、sin585°的值为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，故选择A2、下列关系式中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】C解析因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即3、若，则 ．【答案】【解析】由已知，在第三象限，∴，∴应填．4、 “”是“”的（ ）A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，， 反之，当时，有， 或，故应选A．5、A、 B、2 C、 D、【答案】B【解析】由可得：，又由，可得：可得，，所以，题型二 化简求值这类题主要考查三角函数的变换解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值例3】已知为第三象限的角，,则 解： 为第三象限的角 << <2<()又<0, ,.评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。
是一道综合性较强的题目例4】已知，求（1）；（2）的值解：（1）； (2) 评注：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化练习：1、已知，则A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】 2、函数最小值是（ ）A、-1 B、 C、 D、1【答案】B【解析】∵∴．故选B3、 “”是“”的（ ）A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得，故成立的充分不必要条件题型三 函数 的图像及其性质图像变换是三角函数的考察的重要内容，解决此类问题的关键是理解A、的意义，特别是的判定，以及伸缩变换对的影响例5】为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）A、向左平移个长度单位 B、向右平移个长度单位C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位解：=，=，将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数中的对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的重点。
例6】设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）A、 B、 C、 D、3 解：将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为=2k, 即又 ， k≥1故≥， 所以选C评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度例7】函数的最小正周期为（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】A【解析】由可得最小正周期为,【例8】函数的最小值是_____________________ 答案】【解析】，所以最小值为：【例9】若函数，，则的最大值为（ ）A、1 B、 C、 D、【答案】B【解析】因为==当是，函数取得最大值为2 故选B练习：1、将函数的图像向左平移0 ＜2的单位后，得到函数的图像，则等于（ ）A、 B、 C、 D、、【答案】：D【解析】解析由函数向左平移的单位得到的图像，由条件知函数可化为函数，易知比较各答案，只有，所以选D项。
2、若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，又3、将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是( )A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】将函数的图像向左平移个单位，得到函数即的图像，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为，故选B4、已知函数的最小正周期为，的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】由已知，周期为 ，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D5、已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度C、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度【答案】A【解析】由题知，所以6、已知是实数，则函数的图像不可能是 ( )7、已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=（ ）A、 B、 C、－ D、【解析】由图象可得最小正周期为 于是f(0)＝f(),注意到与关于对称 所以f()＝－f()＝【答案】B8、函数（为常数，）在闭区间上的图像如图所示，则 = . 【解析】 考查三角函数的周期知识。
，，所以9、已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图像如图所示，则 =________________ 解析：由图可知，答案：10、已知函数的图像如图所示，则 w.w.【答案】0【解析】由图像知最小正周期T＝（）＝＝，故＝3，又x＝时，f（x）＝0，即2）＝0，可得，所以，2＝011、已知函数的图像如图所示，则 ＝ 【解析】由图像可得最小正周期为 ∴T＝ Þ ω＝【答案】12、已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】C【解析】，由题设的周期为，∴，由得，，故选C13、如果函数的图像关于点中心对称，那么 的最小值为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】函数的图像关于点中心对称 。