第十二章 微分方程（数学竞赛某些）1．若，求．解 由得，，故，2．设在区间上持续，且满足方程，且，求函数．解 由已知得，，上式对求导，得 ，即 ，是一阶线性微分方程，因此，将代入，有，故3．求满足可微函数．解 ，原式可化为 ，上式对x求导，得，即 (1)式对x求导，得 (2)式对x求导，得 ，于是，该微分方程通解为由(1)，(2) ，可得，故4．设在，求．解 由已知，得 ，又5．设是二阶常系数线性微分方程一种特解，求解1 将代入方程有，比较等式两端同类项系数，可得解得，，，因此解2 由二阶常系数线性微分方程解构造可知：，是常系数齐次线性微分方程两个特解，，是微分方程特性根因此特性方程为，即，故，又是非齐次线性微分方程一种特解，代入方程有，故，因此6．解 因此7．设函数在内具备二阶导数，且是反函数1）试将所满足微分方程变换为满足微分方程；(2) 求变换后微分方程满足初始条件解分析 将转化为比较简朴，=，核心是应注意：==然后再代入原方程化简即可解 (1) 由反函数求导公式知 ，于是有==代入原微分方程，得 * )(2) 方程( * )所相应齐次方程通解为设方程( * )特解为：，代入方程( * )，求得，故，从而通解为 由，得. 故，所求初值问题解为8．运用代换将方程化简，并求出原方程通解。
解 由，即，可得，，代入原方程，得 ( * )此方程所相应齐次方程通解为：，设方程( * )特解为代入方程( * )，求得，，从而，方程通解为 ，再将代入，得原方程通解为9．设函数可导且，二元函数满足，求解 令，则，代入，整顿得，是可分离变量微分原方程其通解为，再由得，故10．设函数方程，求解 微分方程通解为，由得于是 .11．(容器侧壁形状问题)一容器侧面是由曲线绕铅直中心轴y轴旋转而成，其中在 持续，容器底面(过x轴水平截面)为半径R=1圆(即f (0)=1). 当匀速地向容器内注水时，若液面高度h升高速度与(2V+π)成反比(这里V表达当时容器内水体积) ,求容器侧壁轴截线.解 设在时刻t，容器内水液面高度为h，而水体积为V，则有.于是有. 依照题意， ，代如上式，可得 化简得 . 由 f (0)=1 可得 ，上式两端同步对h求导得 ，即 .求出满足f (0)=1 解为，即容器侧壁轴截线为.。