小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相像,共边)标准合用小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相像，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相像（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型细风筝模型） ， 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨 / 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等， 面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图 S1 : S2 a : bS1 S2a bA BCD③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图△△；S ACDS BCD反之，若是 △△BCD，则可知直线 AB 平行于 CD ．S ACDS④等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形可以看作特其他平行四边形 ) ；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比．如图在 △ABC 中，D , E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴( 或 D 在 BA 的延长线上， E 在AC上)，则 S△ ABC: S△ ADE (ABAC) : (ADAE )ADADEEDBCBC图⑴图⑵AS1S4S2O三、蝶形定理任意四边形中的比率关系 ( “蝶形定理” ) ：S3BCS : SS:S也许②S1 S3 S2S4AO:OC S1S2: S4S3① 1243蝶形定理为我们供应认识决不规则四边形的面积问题的一个路子．经过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；文案大全标准合用另一方面，也可以获取与面积对应的对角线的比率关系．梯形中比率关系 ( “梯形蝶形定理” ) ：① S1 : S3 a2 : b 2② S1 : S3 : S2 : S4 a 2 : b 2 : ab : ab ；③ S 的对应份数为 a b 2 ．四、相像模型( 一) 金字塔模型 (AD F EB G C① ADAEDEAF ；ABACBCAG② S△ADE： S△ ABCAF2:AG2．aA DS1S2 S4OS3B Cb二) 沙漏模型E F DAB G C所谓的相像三角形，就是形状同样，大小不同样的三角形 ( 只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相像 ) ，与相像三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相像三角形的所有对应线段的长度成比率，而且这个比率等于它们的相像比；⑵相像三角形的面积比等于它们相像比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相像三角形模型，给我们供应了三角形之间的边与面积关系互相转变的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是由于两条平行线而出现的相像三角形．五、共边定理（燕尾模型细风筝模型）在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 订交于同一点 O ，那么AS ABO :S ACO BD:DC ．上述定理给出了一个新的转变面积比与线段比的手段，因FE为 ABO 和 ACO 的形状很象燕子的尾巴， 因此这个定理被称O为燕尾定理．该定理在好多几何题目中都有着广泛的运用，BC它的特别性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为D三角形中的三角形面积对应底边之间供应互相联系的路子 .文案大全标准合用典型例题【例 1】 如图，正方形 ABCD的边长为 6， AE 1. 5， CF 2．长方形 EFGH的面积为 ．H HA D A DE EG GB BF C F C【解析】 连接 DE，DF，则长方形 EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍．三角形 DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S△ DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5 , 因此长方形 EFGH面积为 33．【牢固】以以下图，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？E EA B A BF FD G C D G C【解析】 本题主若是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形可以看作特其他平行四边形 ) ．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接 AG ．( 我们经过 △ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起) ．∵在正方形 ABCD中， S△ ABG1AB AB 边上的高，21∴ S△ ABG S ABCD ( 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积2的一半 )同理， S△ABG 1 SEFGB ．2∴正方形 ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8 8 1 0 (6厘.米)．文案大全标准合用【例 2】 长方形 ABCD 的面积为 36cm2 ， E 、 F 、G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？A H DE GB F C【解析】 解法一：搜寻可利用的条件，连接 BH 、 HC ，以以下图：A H DE GB F C可得：SEHB1SAHB、 SFHB1、 SDHG1SDHC ，而S CHB222SABCDS AHB S CHBS CHD36即SEHBS BHFS DHG1S CHBSCHD)118 ；(S AHB3622而S EHBS BHFS DHGS阴影S EBF，S EBF111AB)1BC)1．BE BF2((362228因此阴影部分的面积是： S阴影18S EBF 18解法二：特别点法．找 H 的特别点，把 H 点与 D 点重合，那么图形即可变成右图：D (H)AE GB F C这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，依照鸟头定理，则有：1111111．S阴影 SABCD S AED S BEF S CFD 3623622362222【牢固】在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二均分，另一组对边三均分，分别与 P 点连接 , 求阴影部分面积．文案大全标准合用A D A(P) D A DP PB C B C B C【解析】 （法 1）特别点法．由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特别点法，假设 P 点与 A 点重合，则阴影部分变成如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1和 1，因此阴影部分的面积为462116 (4) 15 平方厘米．6（法 2）连接 PA 、 PC ．由于 PAD 与 PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，因此上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的 1 ，同理可知4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的 1 ，因此阴116影部分的面积为 62() 15平方厘米．46【例 3】 以以下图，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，。
