第 1 页 共 11 页小学奥数-页码问题页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题．编一本书的页码，一共需要多少个数码呢？反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数．这是页码问题中的两个基本内容页码问题实际上是数论的问题一、页码问题的几种题型： (1)已知页码数，要求考生求出书中一共含有多少个数码 (2)已知页码数，要求考生求此书中某个数码出现的次数 (3)已知书中包含的数码数，要求考生求出该书的页码数4)已知书中某个数码出现的次数，要求考生求出该书的页码数二、页码问题解题基本原理 要想要想顺利解答页码问题，首先要弄明白“页码”与“组成它的数码个数”之间的关系1．一位数组成的页码共有9个(从1～9)，组成所有的一位数需要：（9-1+1）×1=9×1=9(个)数码2．两位数共有90个(从10～99)，组成所有的两位数需要：2×（99-10+1）=180(个)数码3．三位数共有900个(从100～999)，组成所有的三位数需要：3×（999-100+1）=2700(个)数码4．四位数共有9000个（从1000～9999），组成所有四位数需要：4×（9999-1000+1）=36000(个)数码。
5．9页的书共有：9个数码组成6．99页的书共有：9+180=189个数码组成7．999页的书共有：2700+180+9=2889个数码组成8．9999页的书共有：36000+2700+180+9=38889个数码组成三．例题：例1 一本书共204页，需多少个数码编页码？分析与解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9＝9(个)；10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90＝180(个)；100～204页每页上的页码是三位数，共需数码：(204－100＋1)×3＝105×3＝315(个)．综上所述，这本书共需数码：9＋180＋315＝504(个)．例2 一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码．问：这本书共有多少页？分析：因为189＜2211＜2889，所以这本书有几百页．由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码(2211－189)个，所以三位数的页数有 (2211－189)÷3＝674(页)．因为不到三位的页数有99页，所以这本书共有：99＋674＝773(页)．解：99＋(2211－189)÷3＝773(页)．答：这本书共有773页．例3 一本书的页码从1至62，即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为2000．问：这个被多加了一次的页码是几？分析与解：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为1＋2＋…＋61＋62＝62×(62＋1)÷2＝31×63＝1953．由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是2000－1953＝47．例4 有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131．老师说小明计算错了，你知道为什么吗？分析与解：48页书的所有页码数之和为1＋2＋…＋48＝48×(48＋1)÷2＝1176．按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176－1131＝45．这两个页码应该是22页和23页．但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大．小明计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的．例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第2000位上的数字是多少？分析与解：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为(2000－189)÷3＝603……2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”．所以本题的第2000位数是0．例6 排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？分析与解：将1～400分为四组：1～100，101～200，201～300，301～400．在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0．所以共需要数码“0”例6、13/1995 化成小数后是一个无限小数，问在这个无限小数的小数点后面，从第一位到1995位，在这1995个数中，数字6共出现了多少次？解答：这是一个关于循环小数的周期问题。
基本解答方法是先算出循环节，然后再统计每个周期的数字总数和每个周期中6的个数13/1995＝0.0065162907268170426……，循环节是065162907268170426共18位，每个循环节数字6出现4次，（1995－1）÷18＝110……14，前14位6出现3次，所以一共有110×4＋3＝443个例7、有一本96页的书，中间缺了一张如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗?解：假设可能得到偶数，那么计算如下：如果这本书不缺页，则总96页的所有页码之和是：1+...+96=4656由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数，所以每一页上的页码之和必定是奇数那么：残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数综上所述：不可能得到偶数例8、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第1000位上的数字是多少？解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9=9（个）； 10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90＝180（个）； 因为(1000－189)÷3＝270……1，所以1000个数码排到第：99＋270＋1＝370(个)数的第1个数码“3”．所以本题的第1000位数是3。
例9、有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，依此类推如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推试问： （1）假如这本书有96页，且第一页是图画，那么这本书多少页有图画？ （2）假如这本书有99页，那么多少页有图画？解：（1）将每4页看作是一组，每一组中有3页是图画：96÷4=2424×3=72(页)，这本书有72页是图画2）99÷4=24…324×3+3=75(页)，这本书有75页是图画例10．甲、乙两册书的页码共用了8882个数码,且甲册比乙册多20页,甲册书有多少页?解：0~9页 有9个数码，10~99有180个数码，100~999有2700个数码 由题义可知，甲和乙的最后页上的页码都在四位数以上 因为甲比乙多20页，所以乙册书的数码数为：（8882-20*4）/2=4401个 则乙书含4个数码的页数为：（4401-9-180-2700）/4=378 则乙书的页数为：378+900+90+9=1377页 甲书的页数为1377+20=1397页例11：编一本书的书页，用了270个数字(重复的也算，如页码115用了2个 1和1个5共3个数字)，问这本书一共多少页?( ) A. 117 B. 126 C. 127 D. 189 答案及解析：B。
本题是已知数码数，求页码数一共用了270个数字，其中一位数用了9个数字，两位数用了180个数字，那么三位数用的数字就是270-9-180=81个数字81÷3=27，因此三位数的页码共27页，从100起算，到126页就是27页，因此这本书一共126页 例12：一本书共204页，需多少个数码编页码?( ) A. 501 B. 502 C. 503 D. 504 答案及解析：D本题是已知数码数，求页码数1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9=9(个);10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90=180(个);100～204页每页上的页码是三位数，共需数码(204-100+1)×3=105×3=315(个)综上所述，这本书共需数码9+180+315=504(个) 例13：一本书的页码从1开始，经过计算总共出现了202个数字1，问这本书一共有多少页?( ) A.510 B. 511 C. 617 D.713 答案及解析：A关于三位数字中“1”的出现次数，公式如下：出现次数=(总数÷5)取整百+100+(其他多余情况)，将四个选项带入公式中只有A项510符合。
注：(510÷5)取整百的结果是100;从501到510这10个数中，1出现了2次，故其他多余情况为2】故选A四．根据书本页码的排列规律，解决与书本页码有关的计算问题解决这类问题的基本方法是：分类、分段分别计算，再求和解决此类问题涉及到的，自然数列中与数字相关的常识有：1、10以内的一位数有：9个；2、100以内的两位数有：99-9=90（个）；3、1000以内的三位数有：999-99=900（个）；4、10000以内的四位数有：9999-999=9000（个）；5、100以内的数字中（不包括100），1到9九个数字分别出现了20次；【以“1”为例：在个位出现10次（1、11、21……91），在十位出现10次（10、11……19），共20次六、1000以内的数字中（不包括1000），1到9九个数字分别出现了300次；【以“1”为例：在个位出现了100次（10个10次），在十位上出现了100次，在百位上出现了100次，共300次七、100以内的数字中（不包括100），0出现9次；1000以内的数字中（不包括1000），0出现了189次与“1”相比，0在个位上少出现1次，在十位上少出现10次，在百位上少出现100次。
题目】：一本书有180页，共要用多少个数字来编页码！ 【解析】：我们把这本书的页码分成三段计算①1～9一位数9个，共用9个数字；②10～99两位数90个，共用数字：（99-9）×2=180（个）；③100～180三位数81个，共用数字：（180-99）×3=243（个）所以这本书有180页，共要用数字： 9+180+243=432（个）题目】：求1～950这950个连续自然数中各位上数字有1多少个？ 【解析】：1～950这950个连续自然数，数字1出现的次数可以分两类计算第一类：计算个位和十位上的1在1～99中，数字1在个位上出现10次，在十位上出现10次，共出现了20次同理，在100～199中，数字1在个位上还是出现10次，在十位上也是出现10次，共出现了20次依次类推 ……而在1到50中，数字1在个位上出现5次，在十位上出现10次所以，在1～950中，数字1在个位、十位上共出现：20×9＋10＋5=195（次）第二类：数字1在百位上出现了100次所以，1～950这950个连续自然数中各位上数字共有1：195+100=295（个）题目】：一本故事书在编页码时，共用了3005个数字，这本故事书共有多少页？【解析】：在解决这个问题时，需要适时地进行估算。
解法一：我们把这本书页码数字的个数先分段计算，边算边估，最后求出总页数①1～9页页码一位数。