中学教育勾股定理16种证明方法ppt模版课件

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1、勾股定理的证明【证法1】(课本的证明)做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即, 整理得 .【证法2】(邹元治证明)以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90

2、. HEF = 18090= 90. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于. . .【证法3】(赵爽证明)以a、b 为直角边(ba), 以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90, EAB + HAD = 90, A

3、BCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH是一个边长为ba的正方形,它的面积等于. . .【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于.又 DAE = 90, EBC = 9

4、0, ADBC. ABCD是一个直角梯形,它的面积等于. . .【证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED, EGF + GEF = 90, BED + GEF = 90, BEG =18090= 90.又 AB = BE = EG = GA = c, ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD +

5、 CBE = 90. 即 CBD= 90.又 BDE = 90,BCP = 90,BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形.同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则, .【证法6】(项明达证明)做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(ba) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC,交AC于点P. 过点B作BMPQ,垂足为M;再过点F作FNPQ,垂足为N. BCA = 90,QPBC, MPC = 90, BMPQ, BMP = 90, BCPM是一个矩

6、形,即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90,ABC + MBA = MBC = 90, QBM = ABC,又 BMP = 90,BCA = 90,BQ = BA = c, RtBMQ RtBCA.同理可证RtQNF RtAEF.从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).【证法7】(欧几里得证明)做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD. 过C作CLDE,交AB于点M,交DE于点L. AF = AC,AB = AD,FAB = GAD, FAB CAD, FAB的面积等于(FAB与正方形ACHF同底AF等高

7、HF)CAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半, 矩形ADLM的面积 =.同理可证,矩形MLEB的面积 =. 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ,即 .【证法8】(利用相似三角形性质证明)如图,在RtABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDAB,垂足是D. 在ADC和ACB中, ADC = ACB = 90,CAD = BAC, ADC ACB.ADAC = AC AB,即 .同理可证,CDB ACB,从而有 . ,即 .【证法9】(杨作玫证明)做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(ba),斜边长为c

8、. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AFAC,AF交GT于F,AF交DT于R. 过B作BPAF,垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H. BAD = 90,PAC = 90, DAH = BAC.又 DHA = 90,BCA = 90,AD = AB = c, RtDHA RtBCA. DH = BC = a,AH = AC = b.由作法可知, PBCA 是一个矩形,所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b,AP= a,从而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA

9、. DH = DG = a,GDT = HDA . 又 DGT = 90,DHF = 90,GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90, DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TFAF,TF = GTGF = ba . TFPB是一个直角梯形,上底TF=ba,下底BP= b,高FP=a +(ba).用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为 = , = . 把代入,得= = . .【证法10】(李锐证明)设直角三角形两直角边的长分别为a、b(ba),斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、

10、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). TBE = ABH = 90, TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90,BT = BE = b, RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90,DBC + BHT = TBH + BHT = 90, GHF = DBC. DB = EBED = ba,HGF = BDC = 90, RtHGF RtBDC. 即 .过Q作QMAG,垂足是M. 由BAQ = BEA = 90,可知 ABE= QAM,而AB = AQ = c,所以RtABE RtQAM . 又R

11、tHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 . 由RtABE RtQAM,又得QM = AE = a,AQM = BAE. AQM + FQM = 90,BAE + CAR = 90,AQM = BAE, FQM = CAR.又 QMF = ARC = 90,QM = AR = a, RtQMF RtARC. 即. ,又 , =,即 .【证法11】(利用切割线定理证明)在RtABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90,点C在B上,所以

12、AC是B 的切线. 由切割线定理,得= ,即, .【证法12】(利用多列米定理证明)在RtABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c(如图). 过点A作ADCB,过点B作BDCA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有, AB = DC = c,AD = BC = a,AC = BD = b, ,即 , .【证法13】(作直角三角形的内切圆证明)在RtABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 作RtABC的内切圆O,切点分别为D、E、F(如图),设O的半径为r. AE = AF,B

13、F = BD,CD = CE, = = r + r = 2r,即 , . ,即 , , ,又 = = = = , , , , .【证法14】(利用反证法证明)如图,在RtABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDAB,垂足是D. 假设,即假设 ,则由=可知 ,或者 . 即 AD:ACAC:AB,或者 BD:BCBC:AB.在ADC和ACB中, A = A, 若 AD:ACAC:AB,则ADCACB.在CDB和ACB中, B = B, 若BD:BCBC:AB,则CDBACB.又 ACB = 90, ADC90,CDB90.这与作法CDAB矛盾. 所以,的假设不能成立. .【证法15】(辛卜松证明)设直角三角形两直角边的长分别为a、b

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