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1、高二数学 导数习题课教学目的：使学生能灵活应用导数知识解题.教学过程:一知识要点：1、平均变化率 一般的，函数 在区间上 的平均变化率为 2、曲线上一点处的切线斜率曲线上一点处的切线斜率的定义不妨设P(x1，f(x1)，Q(x0，f(x0)，则割线PQ的斜率为，设x1x0=x，则x1 =xx0，当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当x无限趋近于0时，无限趋近点Q处切线斜率。曲线上任一点(x0，f(x0)切线斜率的求法：，当x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0)处切线的斜率。3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的
2、比称为平均速度即位移函数在上的平均变化率(2) 瞬时速度：当无限趋近于0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时速度平均加速度：（即速度函数在上的平均变化率）瞬时加速度：当无限趋近于0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时加速度4、导数的定义：一般地，定义在区间（，）上的函数，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或，5、导数的几何意义及物理意义：在处的导数就是在处的切线斜率即。在处的导数就是物体在处的瞬时速度即。 在处的导数就是物体在处的瞬时加速度即。6、常见函数的导数公式：； (k,b为常数) ； ； 7、导数的四
3、运算法则法则1法则2 , 法则3 8、复合函数求导法则, 其中是y对x求导,是y对求导,是对x求导.9、函数的单调性定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0f（x）为增函数（x）。函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值。可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点不可导函数未必
4、没有极值勤.(例如:)11、利用导数求函数的最值步骤:设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值。说明：若函数f（x）在a,b上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（a）在a,b上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值。二、例题分析：1、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）（江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（ C ）A f（0）f（2）2f（1）解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上
5、是增函数；当x0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力本小题满分14分（）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问
6、当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。已知，函数()当a=2时,求f(x)=x使成立的x的集合;()求函数y=f(x)在区间1,2上的最小值.（2004福建文科）已知f(x)=在
7、区间1，1上是增函数.（）求实数a的值组成的集合A；（）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（）f(x)=4+2 f(x)在1，1上是增函数，f(x)0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立. 设(x)=x2ax2，方法一： (1)=1a20， 1a1， (1)=1+a20.对x1，1，只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=1时，f(1)=0A=a|1a1.方法二： 0， 0， 或 (1)=1+a20 (1)=1a20 0a1 或
8、1a0x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根， x1+x2=a， 从而|x1x2|=.x1x2=2，1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20， g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时， m0， m0， 或 g(1)=m2m20 g(1)=m2+m20 m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.（1）解：，依题意，即 解得. . 令，得.若，则，故在上是增函数，在上是增函数.若，则，故在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设
