解读IEEE标准754：浮点数表示如须转载请注明作者为Lolita@linuxsir.org，并请保持文章的完整和提供转载出处更新：20060623-06:44 增加了求最大非规格数的公式20060622-23:40 修改了几处笔误，换掉了实验部分的那张大图，改用代码显示一、背景 在IEEE标准754之前，业界并没有一个统一的浮点数标准，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则，以及运算细节那时，实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视 直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候，聪明地意识到，作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式于是Intel在请加州大学伯克利分校的 William Kahan教授──最优秀的数值分析家之一来为8087 FPU设计浮点数格式; 而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合（Kahn, Coonan, and Stone） 他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。
目前，几乎所有计算机都支持该标准，大大改善了科学应用程序的可移植性二、表示形式 从表面上看，浮点数也是一串0和1构成的位序列(bit sequence)，并不是三头六臂的怪物，更不会咬人然而IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如下图所示： N的实际值n由下列式子表示：其中： ★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位 ★ S(sign)表示N的符号位对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1 ★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位对应值e值也可正可负 ★ M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”三、浮点数格式 IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式 ★ 单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。
★ 双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位 值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数，也就是说，假定 M为“010110011...”, 在二进制数值上其实是“.010110011...”而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位通常，哦不，应该说绝大多数情况下是1，那什么情况下是0呢？答案是N对应的n非常小的时候，比如小于 2^(-126)(32位单精度浮点数)不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是"m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”四、计算e、m 首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”噢，其实并没有这么难的，跟我来！掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是，规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要请牢记这句话：规格化与否全看指数E！ 下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m: 1、规格化：当E的二进制位不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。
此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数,e值计算公式如下图所示： 上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5 k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023 此时m的计算公式如下图所示： 标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.625 2、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式此时e，m的计算都非常简单 注意，此时小数点左侧的隐含位为0 为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的后文我们还会继续讨论 有了非规格化形式，我们就可以表示0了把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,则得到 +0.0非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually underflow)”属性。
3、特殊数值： 当E的二进制位全为1时为特殊数值此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化五、范例 仔细研读第四点后，再回忆一下文章开头计算n的公式，你应该写出一个浮点编码的实际值n了吧？ 还不能吗？不急，我先给你示范一下我们假定N是一个8位浮点数，其中，S占1位，E占4位，M占3位下面这张表罗列了N可能的正数形式，也包含了e、m等值，请你对照着这张表，重温一下第四点，你会慢慢明白的说实在的，这张表花了我不少功夫呢,幸好TeX画表格还算省事！ 这张表里头有很多有趣的地方，我提醒一下： ★ 看 N 列，从上到下，二进制位表示是均匀递增的，且增量都是一个最小二进制位这不是偶然，正是巧妙设计的结果观察最大的非规格数，发现恰好就是M全为1, E全为0的情况于是我们求出最大的非规格数为： 上面的公式中，h为M的位数(如范例中为3)注意，公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的值（如范例中为 8/512 ）;第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。
★ 看 m 列，规格化数都是 1+ x 的形式，这个1正是隐含位1; 而非规格化数隐含位为0, 所以没有 "1+" ★ 看 n 列，非规格化数从上到下的增量都是 1/512, 且过渡到规格化数时，增量是平滑的，依旧是1/512这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故，也是巧妙设计的结果 再继续往下看，发现增量值逐渐增大可见，浮点数的取值范围不是均匀的 六、实战 我们用一小段汇编来测试一下，浮点数在内存中是如何表示的测试环境： GentooLinux2006.0/GNU assembler version 2.16.1/GNU gdb 6.4/AMD XP1600+ 如下所示 代码: ~/coding/assemble $ gdb(gdb) list1 .section .data2 f1:3 .float 54 f2:5 .float 0.1 6 .section .text7 .global _start8 _start:9 nop10 (gdb) x/f &f10x80490a4 : 5(gdb) x/xw &f10x80490a4 : 0x40a00000(gdb) x/f &f20x80490a8 : 0.100000001(gdb) x/xw &f20x80490a8 : 0x3dcccccd(gdb) 从上面的gdb命令结果可以看出，浮点数5被表示为 0x40a00000，二进制形式为( 0100 0000 1010 0000 ... 0000 0000)。
红色数字为E，可以看出|E|=129>0, 则e=129-bias=129-127=2 ； 蓝色数字为M, 且|E|>0，说明是规格化数，则m=|1.M|=|1.01000..000|=1.25 ; 由n的计算公式可以求得 n=(-1)^0 * 1.25 * 2^2 = 5， 结果被验证了 同样，你也可以验证一下十进制浮点数0.1的二进制形式是否正确，你会发现，0.1不能表示为有限个二进制位，因此在内存中的表示是舍入(rounding)以后的结果，即 0x3dcccccd, 十进制为0.100000001， 误差0.000000001由此产生了 七、未完成 关于浮点数，还有很多东西（比如舍入误差、除零异常等等）值得我们深入探讨，但已经无法在此继续这篇文章的目的仅在初步解释IEEE标准754对浮点数的规定以及一些奇妙的地方。
写这篇文章花掉了我整天的时间，但也使我彻底记住了以前让我胆怯的东西──最重要的是，希望这篇文章对大家有点用处，也算我为计算机科学基础理论版以及Linuxsir.org做的一点贡献参考书目：①: Randall Hyde, The Art of Assembly Language, Vol.1, 4.2.1②: Randal E. Bryant, David R. O’Hallaron, Computer Systems A Programmer’s Perspective (Beta Draft), PartⅠ， Chapt.Ⅱ， 2.4③: Rechard Blum, Professional Assembly Language 。