《圆的认识》教学案例 ●背景分析 “圆的认识”一课选自小学数学教材第11册，是在学生认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的基础上展开，也是小学阶段认识的最后一种常见的平面图形教材的编排思路是先借助实物揭示出“圆”，让学生感受到圆与现实的密切联系，再引导学生借助“实物”、“圆规”等多种方式画圆，初步感受圆的特征，并掌握用圆规画圆的方法，在此基础上，再引导学生通过折一折、画一画、量一量等活动，帮助学生认识直径、半径、圆心等概念，同时掌握圆的基本特征这样的编排，学生对于圆的相关概念及特征的理解和把握一般都是建立在教师的明确指引和调控之下，学生相对独立的探索空间不够，而与此同时，学生对于圆所内涵的文化特性也无从感受、体验，对于圆在历史、文化、数学发展过程中与人类结下的不解之缘感受不深 基于这样的认识，我试图对本课的教学思路进行重新调整：一方面，通过拓展空间，将学生进一步置身于探索者、发现者的角色，引导学生在认识完圆的一些基本概念后，自主展开对于圆的特征的发现，并在交流对话中完善相应的认知结构；另一方面，我又借助媒体，将自然、社会、历史、数学等各个领域中的“圆”有效整合进本课教学，充分放大圆所内涵的文化特性，努力折射“冰冷”图形背后所散发的独特魅力。
想起美国学者泽布罗夫斯基，曾因为“在凝望波涛的时候”而产生了写作《圆的历史》这一迷人著作的冲动，而我――一个普通的年轻教师，又是如何想起要在自己的课堂里打破常规、冲破樊篱，演绎“走进圆的世界”这一多少有些另类的教学案例的呢？如今回想起来，是平静水面上漾起的一圈圈涟漪？是阳光下朵朵绽放的金色向日葵？是慈母心中那轮永恒的明月？是“长河落日圆”中夕阳下落日的余辉？是伟大思想家墨子笔下“圆，一中同长也”和数学巨著《周髀算经》中“圆出于方，方出于矩”的召唤？是古老的阴阳太极图所给予的神秘诱惑？是“没有规矩，不成方圆”这一古训背后的力量？还是西方数学哲学中“圆是最美的图形”所带来的无限诱惑？似乎都是，又不完全是只是有一种莫明的冲动，一直萦绕心头，那就是：怎样让数学课堂再厚重些、开阔些、深邃些、美丽些……藉此，想到了圆，继而，便有了“走进圆的世界”这一大胆尝试 ●过程描述 ［一］ 师：对于圆，同学们一定不会感到陌生吧？（是）生活中，你们在哪儿见到过圆形？ 生：钟面上有圆 生：轮胎上有圆 生：有些钮扣也是圆的 …… 师：今天，张老师也给大家带来一些。
见过平静的水面吗，（见过如果我们从上面往下丢进一颗小石子（播放动态的水纹，并配以石子入水的声音），你发现了什么？ 生：（激动地）水纹、水纹、圆……（声音此起彼伏） 师：其实这样的现象在大自然中随处可见，让我们一起来看看伴随着优美的音乐，阳光下绽放的向日葵、花丛中五颜六色的鲜花、光折射后形成的美妙光环、用特殊仪器拍摄到的电磁波、雷达波、月球上的环形山等画面一一展现在学生的眼前，见图①）从这些现象中，你同样找到圆了吗？ 生：（惊异地，慨叹地）找到了 师：有人说，因为有了圆，我们的世界才变得如此美妙而神奇今天这节课，就让我们一起走进圆的世界，去探寻其中的奥秘，好吗？ 生：（激动地）好！ ［二］ 师：俗话说，“没有规矩，不成方圆”意思是说，如果没有圆规，是―― 生：――画不出圆的 师：同学们都准备了一把圆规，你能试着用它在白纸上画出一个圆吗？ 生：能 （学生尝试用圆规画圆，交流，明确圆规画圆的基本方法 师：可要是真没有了圆规，比如在圆规发明之前，我们就真画不出一个圆了吗？ 生：不可能 师：今天，每个小组还准备了很多其他的材料。
你能利用这些材料，试着画出一个圆吗？ 生：能 （学生以小组为单位，利用手中的工具和材料画圆 师：张老师发现，每个小组都有了各自精彩的创造让我们一起来分享 生：我们组将圆形的瓶盖按在白纸上，沿着瓶盖的外框画了一个圆 师：那叫“拷贝不走样”生笑） 生：我们手中的三角板中就有一个圆形窟窿，利用它，很方便地画出了一个圆 师：真可谓就地取材，挺好！（笑） 生：我们组在绳子的一端系一支铅笔，另一端固定在白纸上，绳子绷紧，将铅笔绕一圈，也画出了一个圆 师：看得出，你们组的创作已经初步具备了圆规的雏形 生：我们组在绳子的一端系上一块橡皮，抓住绳子的另一端一甩，也同样出现了一个圆 师：尽管这一方法没有能在白纸上最终“画”出一个圆，但他们的创造仍然是十分美妙的，不是吗？（生热烈鼓掌） 师：可是，既然不用圆规，我们依然创造出了这么多画圆的方法，那么俗语中为什么还会有“没有规矩，不成方圆”的说法呢？ 生：我想，大概是古时候的人们没想到这些方法吧？（生笑） 生：我觉得不是这样，因为，或许一开始，“没有规矩，不成方圆”指的是没有圆规和“矩”画不出方和圆，但是流传到后来，它的意思已经发生了改变，不再仅仅指原来的意思了，而是指很多事情，必须要讲究规矩，遵循章法。
不少同学投以赞许的目光） 师：真没想到，一条普通的数学规律，经过千年流传，竟逐渐成为我们生活中一条重要的人生准则当然，同学们能够利用各自的智慧，成功演绎“没有规矩，仍成方圆”，足以说明大家不凡的创造力了 ［三］ （通过自学，学生认识完半径、直径、圆心等概念后 师：学到现在，关于圆，该有的知识我们也探讨得差不多了那你们觉得还有没有什么值得我们深入地去研究？ 生：有（自信地） 师：说得好，其实不说别的，就圆心、直径、半径，还蕴藏着许多丰富的规律呢，同学们想不想自己动手来研究研究？（想！）同学们手中都有圆片、直尺、圆规等等，这就是咱们的研究工具待会儿就请同学们动手折一折、量一量、比一比、画一画，相信大家一定会有新的发现两点小小的建议：第一，研究过程中，别忘了把你们组的结论，哪怕是任何细小的发现都记录在学习纸上，到时候一起来交流第二，实在没啥研究了，别急，老师还为每一小组准备一份研究提示，到时候打开看看，或许对大家的研究会有所帮助 （随后，伴随着优美的音乐，学生们以小组为单位，展开研究，并将研究的成果记录在教师提供的“研究发现单”上，并在小组内先进行交流） 师：光顾着研究也不行，我们还得善于将自己的发现和大家一起交流、一起分享，你们说是吗？（是）很多小组都向张老师推荐了他们刚才的研究发现，张老师从中选择了一部分。
下面，就让我们一起来分享大家的发现吧！ 生：我们小组发现圆有无数条半径 师：能说说你们是怎么发现的吗？ 生：我们组是通过折发现的把一个圆先对折，再对折、对折，这样一直对折下去，展开后就会发现圆上有许许多多的半径 生：我们组是通过画得出这一发现的只要你不停地画，你会在圆里画出无数条半径 生：我们组没有折，也没有画，而是直接想出来的 师：噢？能具体说说吗？ 生：因为连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，而圆上有无数个点（边讲边用手在圆片上指），所以这样的线段也有无数条，这不正好说明半径有无数条吗？ 师：看来，各个小组用不同的方法，都得出了同样的发现至少直径有无数条，还需不需要再说说理由了？ 生：不需要了，因为道理是一样的 师：关于半径或直径，还有哪些新发现？ 生：我们小组还发现，所有的半径或直径长度都相等 师：能说说你们的想法吗？ 生：我们组是通过量发现的先在圆里任意画出几条半径，再量一量，结果发现它们的长度都相等，直径也是这样 生：我们组是折的将一个圆连续对折，就会发现所有的半径都重合在一起，这就说明所有的半径都相等。
直径长度相等，道理应该是一样的 生：我认为，既然圆心在圆的正中间，那么圆心到圆上任意一点的距离应该都相等，而这同样也说明了半径处处都相等 生：关于这一发现，我有一点补充因为不同的圆，半径其实是不一样长的所以应该加上“在同一圆内”，这一发现才准确 师：大家觉得他的这一补充怎么样？ 生：有道理 师：看来，只有大家互相交流、相互补充，我们才能使自己的发现更加准确、更加完善还有什么新的发现吗？ 生：我们小组通过研究还发现，在同一个圆里，直径的长度是半径的两倍 师：你们是怎么发现的？ 生：我们是动手量出来的 生：我们是动手折出来的 生：我们还可以根据半径和直径的意义来想，既然叫“半径”，自然应该是直径长度的一半喽…… 师：看来，大家的想象力还真丰富 生：我们组还发现圆的大小和它的半径有关，半径越长，圆就越大，半径越短，圆就越小 师：圆的大小和它的半径有关，那它的位置和什么有关呢？ 生：应该和圆心有关，圆心定哪儿，圆的位置就在哪儿了 生：我们组还发现，圆是世界上最美的图形 师：能说说你们是怎样想的吗？ 生：生活中，我们到处都能找到圆。
如果没有了圆，我们生活的世界一定会缺乏生机 生：我们生活的世界需要圆，如果没有了圆，车子就没法自由的行驶…… 师：当然，张老师相信，同学们手中一定还有更多精彩的发现，没来得及展示没关系，那就请大家下课后将刚才的发现剪下来，贴到教室后面的数学角上，让全班同学一起来交流，一起来分享，好吗？ 生：好 ［四］ 师：其实，早在二千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载墨子在他的著作中这样描述道：“圆，一中同长也所谓一中，就是指一个―― 生：圆心 师：那同长又指什么呢？大胆猜猜看 生：半径一样长 生：直径一样长 师：这一发现，和刚才大家的发现怎么样？ 生：完全一致 师：更何况，我古代这一发现要比西方整整早一千多年听到这里，同学们感觉如何？ 生：特别的自豪 生：特别的骄傲 生：我觉得我国古代的人民非常有智慧 师：其实，我国古代关于圆的研究和记载还远不止这些老师这儿还搜集到一份资料，《周髀算经》中有这样一个记载，说“圆出于方，方出于矩”，所谓圆出于方，就是说最初的圆形并不是用现在的这种圆规画出来的，而是由正方形不断地切割而来的（动画演示：圆向方的渐变过程，如图②）。
现在，如果告诉你正方形的边长是6厘米，你能获得关于圆的哪些信息？ 生：圆的直径是6厘米 生：圆的半径是3厘米 师：说起中国古代的圆，下面的这幅图案还真得介绍给大家（出示图③），认识吗？ 生：阴阳太极图 师：想知道这幅图是怎么构成的吗？（想！）原来它是用一个大圆和两个同样大的小圆组合而成的（出示图④）现在，如果告诉你小圆的半径是3厘米，你又能知道什么呢？ 生：小圆的直径是6厘米 生：大圆的半径是6厘米 生：大圆的直径是12厘米 生：小圆的直径相当于大圆的半径 …… 师：看来，只要我们善于观察，善于联系，我们还能获得更多有用的信息现在让我们重新回到现实生活中来平静的水面丢进石子，荡起的波纹为什么是一个个圆形？现在，你能从数学。