反比例函数、基础知识k k1. 定义：一般地，形如y -（ k为常数，k o）的函数称为反比例函数y —x x还可以写成y kx 12. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式分子是不为零的常数 k （也叫做 比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.⑵比例系数k 0⑶自变量x的取值为一切非零实数⑷函数y的取值是一切非零实数3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以0为中心，沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数）② 描点（有小到大的顺序③ 连线（从左到右光滑的曲线）k⑵反比例函数的图像是双曲线， y -（ k为常数，k 0）中自变量x 0，x函数值y o,所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐 靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 y x或y x ）k k⑷反比例函数y -（ k 0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线 y —x x（k 0 ）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为 k 04•反比例函数性质如下表：k的取值图像所在象限函数的增减性k o一、三象限在每个象限内，y值随x的增大而减小k o二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个 点的坐标即可求出k）6•“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数k但是反比例函数y -中的两个变量必成反比例关系。
x7.反比例函数的应用、例题2【例1】如果函数y kx2k k2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？k【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 , （ k 0）即y kxx（k 0）又在第二，四象限内，贝U k 0可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：2 12k k 2 1解得k 1或k 2k 0 k 0 2k 1k 1时函数y kx2k2 k 2为y -x1【例2】在反比例函数y 的图像上有三点x1， y1 ， x2， y2 ， x3， y3x若X1 X2 0 X3则下列各式正确的是（ ）A. y3 y1 y B • y3 y2 y1 C • % y y D • y1 y3 y【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法解法一：由题意得1y2 ， y3X3X1 X2 0 X3，y3 y1y2所以选A解法二：用图像法,在直角坐标系中作出 y1的图像x描出三个点，满足x1 x2 0X3观察图像直接得到y3y1X2解法三：用特殊值法x x2 0 x3, 令x1 2, x211,X3 1 * -,y21,y31, y3 y1y2【例3】如果一次函数y mxn m 0与反比例函数y3nxm的图像相交于点（2，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（【解析】直线y mx门与双曲线y宁乂相交于22，1m23n2解得11 y 2x 1直线为y 2x 1,双曲线为y -解方程组 1x y -x得x- 1y- 1X2y2另一个点为 1, 1【例4】 如图，在Rt AOB中，点A是直线y x m与双曲线y m在第一象x解：因为直线y x m与双曲线y m过点A,设A点的坐标为XaVa.x则有yA Xa m, yA —.所以m Xa『a.Xa又点A在第一象限,所以OB xA xA,AB yA yA.1 11所以 S aob OB ? AB xA yA m.而已知 S AOB 2 .2 2 2所以m 4.三、练习题21. 反比例函数y 若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（ ）A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D不能确定 如果矩形的面积为 6cm,那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为的图像位于（ ）xA.第一、二象限 B •第一、三象限 C •第二、三象限 D •第二、四象限4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时,气球内气体的气压P （ kPa ） 是气体体积V （ m3）F(kPa) ♦\的反比例函数，其图象如图所示.当气球内气压大于120 kPa60)时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应（ ）60 O 1-6a、不小于5m b、小于5m c、不小于d、小于—m4 4 5 515.如图,A C是函数y -的图象上的任意两点，过A作xx轴的垂线，垂足为B,过C作y轴的垂线，垂足为D,记Rt△ AOB勺面积为S，Rt △ COD勺面积为S2则（）A. Si > S2 B . S i VS2C. Si=S2 D . Si与S2的大小关系不能确定n 16. 关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y= 的图象都经过点A（-2，1）.x求：（1） 一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点 B 的坐标；（3）A AOB的 面积.k7. 如图所示，一次函数y= ax+ b的图象与反比例函数y= -的图象交于A、Bx1两点，与x轴交于点C.已知点A的坐标为（一2，1），点B的坐标为（2，m.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x的取值范围.8. 某蓄水池的排水管每小时排水 8m3，6小时可将满池水全部排空.(1) 蓄水池的容积是多少？(2) 如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q(mi),那么将满池水排空 所需的时间t (h)将如何变化？(3) 写出t与Q的关系式.(4) 如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？(5) 已知排水管的最大排水量为每小时 12m3，那么最少需多长时间可将满 池水全部排空？.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y (件)是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为 100元/件时，每 日可售出30件.(1) 请写出y关于x的函数关系式；(2) 该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为 1800元，则其售价应为多少元？10.如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y = kx + b的图象与反比例函数y的图象交于A（-2 , 1）、B（1 , n）两点。
⑴求上述反比例函数和一次函数的表达式;（2）求厶AOB的面积四、课后作业21 .对与反比例函数y 2，下列说法不正确的是（ ）x人.点（2, 1）在它的图像上B. 它的图像在第一、三象限C. 当x 0时，y随x的增大而增大D. 当x 0时，y随x的增大而减小k2. 已知反比例函数y — k 0的图象经过点（1, -2 ）,则这个函数的图象一定x经过（ ）A、（2, 1） B 、（2, -1 ） C 、（2, 4） D 、（-1 , -2）3. 在同一直角坐标平面内，如果直线y k/与双曲线y喧没有交点，那么k1x和k2的关系一定是（ ）A. k1 +k2 =0 B. k1 • k2 <0 C. k1 • k2 >0 D. k1 = k2k4. 反比例函数y = -的图象过点P （- 1.5 , 2）,则k = .x15. 点P (2mi-3, 1)在反比例函数y =-的图象上，贝U mi= .X6. 已知反比例函数的图象经过点(m, 2)和(一2, 3)则m的值为 .7. 已知反比例函数y 1一2m的图象上两点Ax1,y1 , B x2,y2，当捲0 x2时,x有yi y，则m的取值范围是？8. 已知y与x-1成反比例，并且x = -2时y = 7,求:(1)求y和x之间的函数关系式； (2) 当x=8时，求y的值;1 b—的图象在每个象限内,xJ，求a是多少？y随x的增大而增(3) y = -2时，x的值9. 已知b 3,且反比例函数y大，如果点a,3在双曲线上yx。