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1、量子力学问题第一章1. 物理学中的两朵乌云（1）“以太”问题“以太漂移”，迈克尔逊-莫雷实验表明，不存在以太。（2）固体低温下的比热问题固体的诸原子在各自的平衡位置附近作小振动，每个振动自由度占有相同 的平均能量（包含动能项和势能项），因而摩尔热容为3R，而在温度趋于零或多 原子分子时，实验值小于该理论值：部分自由度被冻结。2. 紫外灾难与量子假设黑体辐射与紫外灾难当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：热力学+特殊假设分维恩公式长波部分不一致经典电动力学+统计物理学分瑞利金斯公式（短波部分完全不一致），一 一紫外灾难。普朗克的能量子假设对一定频率v的电磁波，物体只能以hv为单位吸收或
2、发射它，即吸收或发 射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量hv叫能量子。3.爱因斯坦与光电效应（利用爱因斯坦方程解释光电效应中为何存在临界频 率v ?）0光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。（1）光电效应的规律：a存在临界频率v ；b. 光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量 越大，光强只影响光电子数目。光强越大，光电子数目越多。c. v v 0时，光一照射，几乎立刻（.10 -9 s）观测到光电子。（2）爱因斯坦解释解释实验：h v = 1 + W 爱因斯坦方程2逸出功w = hv04.玻尔的原子理论的中心内容：定态假设，频率条件。（1）定态
3、假设原子内部的运动只可能处于一些不连续的稳定状态，称为定态。原子在每一 个定态下能量分别都有一定的值，原子的能量只允许取量子化的离散值，称为能 级。（2）频率条件原子的能量不能任意连续地改变，只能通过从一个定态到另一定态的跃迁 而产生跃迁式的改变。原子从一个能量为E的定态跃迁到另一能量为E的定态时，将发射或吸收频率为v = 1气En的光子。mnh（3）量子化条件在量子理论中，角动量必须是 的整数倍P pdx = nhx为坐标，p为对应的动量，n为正整数，称为量子数，回路积分是延轨道积一 圈。5微观粒子的波粒二象，性1924年德布罗意在光有波粒二象性的启发下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假设，
4、这种与粒子相联系的波叫德布罗意波。波的频率和波长与粒子的能量和动量通过德布罗意公式联系起来。量子光子能量6.实物粒子波动性的实验（1 ）戴维孙一一革末电子衍射实验电子正入射到镍单晶上，散射电子束的强度随散射角而改变，当散射角取某 些确定值时，强度有最大值，这与X射线的衍射现象相同，这充分说明电子具有 波动性。电子衍射（2）单电子实验 （3）C60分子束衍射是迄今为止最复杂的分子所表现出来的波动性。计算题例1： m =1g，v =1cm/s的实物粒子由于波长很短，所以宏观粒子通常X= h = 6,62 X 10 _34 = 6.62 x 10 - 29 m看不到波动现象mv 10 -3 x 10
5、 -2例2：电子质量m = 9.1x10-31kg，加速电压为U，求波长。2 eUV = 丁U = 150 V 一人=1A1mv 2 = eU2人 _L h12.25 amvx 2 emU:U实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原 子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出 来。例3:计算25C时，慢中子的德布罗意波长。解： = -kT = - x 1.38 x 10 -23 x 298 = 6.17 x 10 -21 J 22 = mv 2P = mv = t2m= v2 x 1.67 x 10 -27 x 6.17 x 10
6、-21= 4.55 x 10 -24 m - kg - stk = = 1.46 x 10 -10 m = 1.46 AP第二章11. 概率波一一量子力学中的波函数所描述的是粒子在空间的概率分布的概率波概率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反 映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最 本质的东西：波的叠加性(相干性)。描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。2. 波函数的意义(1)波函数强度的表示设波函数中(X ,y ,乙,t )描写粒子的状态，波的强度|中|2=中*中(2 )位置
7、的概率：(点的概率)3. 归一化条件：必然事件在整个空间找到粒子的几率为1。J dW (x, y, z, t) = f C I (x, y, z, t) I2 dt = 1g4. 波函数的性质1. u是单值函数一一概率密度的确定性所要求的2. w 连续性一一w ,予，也，普连续，甚至匚=(in V )，均连续3. 有界性概率不可能无穷大。这称为波函数的标准条件。4. |2是平方可积函数j |2 d 3r = j W叩d 波函数中(x, y, z, t)时刻t : x x+dx、y y+dy、z z+dz区域内找到粒子的几率表示为dW (x, y, z, t) = C I (x, y, z, t
8、) I2 dtr = C5. 经典波和微观粒子几率波的区别：（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观 粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一 状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各 点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各 点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态 并不改变；（3）对经典波，加一相因子即，状态会改变，而对几率波，加一相因 子ei8不会引起状态改变。题目：1. 设波函数为甲（x,y, z），求在（x, x + dx）范围找到粒子的几率。2. 在球坐标系中，粒子波
9、函数表示为甲（r, 0 ,平），求（a）在球壳（r, r + dr ）中找4.例：使wsin x， 0 x n )归 一化到粒子的几率。（b）在（0 ,平）方向的立体角由 j W I2 d 3 r = 1， A2 j sin 2 xdx = A2 x 一一 sin 2x兀=A2 = 112402件,即归一化波函数为w 15.例：寸=厂a 2,x2解：设W = Ae - a2一3 x 0由积分公式e -ax 2d2 A2 J e 2a2 d x = 2 A 2 一a = 1， 所以,A =()1/2 2龙2，兀 a021. 态叠加原理经典力学中的叠加原理经典的波是遵从迭加原理的，两个可能的波动过
10、程 。与。的线性迭加 a。+ b。也是一个可能的波动过程。波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 量子力学中的态叠加原理当中，中,.中,.是体系的可能状态，他们的线性迭加：中=C中+ C中+ . + C中+ . = X c甲，也是这个体系的一个可能状态。其中 1122n ni ii（c , c ,. c .是复数） 12 n习题：1. 经典与量子叠加原理形式相同，但物理意义不同经典：u + u = 2u，u和2u描述不同的状态量子：w +W = 2w ， W ,2W描述同一状态2. 中（r,t）,c（p,t）描述的是同一状态甲（r,t）:以坐标为自变量的波函数，描述位置概率。c（p, t）:
11、以动量为自变量的波函数。描述动量概率。两者对应，一个确定，另一个也确定。3-4一、定态薛定趣方程1.dU (r)A k-0dtVJ2.定态薛定置方程。甲(户*)h2ih= -V 2 + U (r) (r ,0dt2 pi3.定态解中(r,t) = V (r)/(?)， V 2寸 + / (r)|/ - Ef Hf - Ef定态方程。2口(1 )能级 本征值只对一系列特定的E值e , E ， - E才有解，这些值是算符H的本征值,12n称为能级(2 )本征函数与相应能级E对应的态函数W 是H的本征函数。w w .v1 2 “(3 )本征值方程HW = E W本征值方程， nn n实际上，Ff =
12、Xf ,则人为万的本征值，W为人的本征函数，方程FW =冽/为算符万的本征方程。(4 ) 简并度对应一确定的能量值E ,波函数的数目称为简并度nd n4. 连续性方程和概率流矢量+ v j = o连续性方程。dt概率密度J概率流密度矢量，单位时间内流过（垂直于粒子流方向）单位面积的概率。二、定态的性质 1.能量E为实数一一E * = E。2. 概率密度和概率流密度都与时间无关。题目:1.证明能量E为实数iE *- iE(-,t)甲(-,t) = V * (r)e 力 V (r)e 力d jjj dtfff P (-, t) d 3 r dt8所以E * = E，既E为实数。2. 概率密度和概率
13、流密度都与时间无关。因为 w =中 * (-, t)中(-,t) = V (-) *W (-)，J三一Im(中 W中)=ImV (-)*VV (-)只MM是位置函数，所以 丑=081-合j=0d t由连续性方程，四+VJ = 0d t及其概率流的空间分布都是稳定不变的。=0，表明粒子处于定态中时，其概率6-7 一、一维无限深势阱意义1）是固体物理金属中自由电子的简化模型;2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来.x a1.薛定谔方程阱内:d 2 w + k 2甲=0，k =12dx 2力 22.能级和波函数E =, w (x) =2sin(彖 x)n2 口 a 2n
14、 V a a3.概率密度w (x)l = 2sin 2(n a二、谐振子研究意义：任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、原子核表面振动 以及辐射场的振动等，在选择了适当的坐标之后，往往可以分解成若干彼此独立 的一维简谐振动。任务：求能量、概率分布1呻2 x 2，不含时间，是定态问题 2x2一维线性谐振子的势能为V (x)=哈密顿算符H =-匚土 +、2 日 dx 22谐振子的定态波函数E2W n (& ) = N e - 2 H 逐(& )能级 E = (n + -)力，n = 0,1,2,相应的递推公式习题：1：二维各向同性谐振子的哈密顿算符是试在直角坐标系中解出其能级。H =-旦(旦 +M) + 冬(x 2 + V 2)，2 M d x2 d y 22解：由薛定谔方程一里 V 2W + V (r)W = EW ，2 M设波函数力 2。2 a 2 m & 力2 a2 m 2 2 x 2M aX22(一 + 一)+(X2 + y
