第八章 参数估计 第二节 点估计量的优良性 上一节中，我们介绍了估计总体参数的两个常用的方法：矩估计法和极大似然估计法并且已经知道，对于同一个参数，用矩估计法和极大似然估计法得出的估计量有的时候是相同的，有的时候是不同的，即对于同一个参数,可以有多个估计量等,究竟采用哪一个估计量好呢？这就涉及到用什么标准来评价估计量好坏的问题通常采用下列标准一、无偏估计这里我们给出另一种对任何样本容量都适用的评价估计量好坏的准则我们知道总体均值的矩估计是，它的数学期望和方差分别为 , .从此可以看出，用样本均值作为总体均值的估计，虽然没有说明用个别的来估计是偏差有多大，但这种偏差只能是随机的估计只是在的两旁随机的摆动，在大数次重复取样下不会系统的引起过高或过低的偏差，而平均起来却集中于，即这是估计量应具有的一种良好性质没有系统性偏差的性质在统计学上称作无偏性显然它可以作为衡量估计量估计量好坏的一个准则定义2 设（简记为）为未知参数的估计量，若 , (8.5)则称为的无偏估计例1 样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计量.解 设为来自于总体的样本,总体均值,总体方差;则独立且与同分布, ,,;,,要求,,; ,,, ,计算方法1 ;方法2 , , ;方法3 , , ,故 . 但是，不是总体方差的无偏估计。
事实上， ,所以，它是有偏的.例2 设总体的概率密度为 ,为来自总体的样本.(1)求总体均值,总体方差(2)求的矩估计量; (3)是否为的无偏估计？(4)求的方差 .解 (1)总体均值 ; ;总体方差;(2)令,即, 得的矩估计量为; (3),所以是的无偏估计;(4)的方差 . .(不讲)在经济科学中，－称为以作为的估计的系统误差无偏估计的实际意义就是无系统误差（即系统误差等于零）由定义可知，无偏性的验证关键在于求出未知参数的估计量的期望，无偏性的验证方法可以说就是估计量的期望的求法下面介绍几种求法一）、如不涉及总体具体分布，利用期望的性质求之例2 设总体X的期望与方差存在，X，X，…，X是X的样本，证明是的无偏估计量，其中证明 由条件 例3 设总体X的数学期望为，方差为，（X，X，…，X）和（Y，Y，…，Y）分别来自X的样本，证明 是的无偏估计量证明 令，，有例1知，即，同法可得 故 。
二）涉及总体分布，先求估计量的密度函数（或分布律）例4 试证明均匀分布 中未知参数的极大似然估计量不是无偏的证明 设, 当,必有某个,;样本的似然函数为 , 在上单减,所以在处达到最大值,()所以的极大似然估计值为，极大似然估计量为为要证明不是的无偏估计，需求出，为此应先求出的概率密度 因为是随即样本X，X，…，X的最大值，而X，X，…，X独立同分布，于是的分布函数为 其中F(x)为总体X的分布函数由X的概率密度知 因而 于是 ，故不是的无偏估计例5 假设随即变量X在区间上服从均匀分布，其中端点是未知参数设X，X，…，X是来自X的简单随即样本，是最大观测值试证是的有偏估计量，而是的无偏估计量证明 由题设x的密度函数为 而X的分布函数为 于是的分布函数为，则 于是 故不是的无偏估计量 用（n+1）/n乘，将其无偏化，所得到的估计量就是无偏的了事实上，这时有 。
注意 并非一切有偏估计都可修正为无偏的 （三）利用常见分布的期望证之 例6 设是某时间A在n次独立重复试验中出现的次数，则事件A的频率是其概率p的无偏估计 解 由题意知，随即变量服从参数为n，p的二项分布，其数学期望为，因而有 即为p的无偏估计例7 设总体X～，X，X，…，X是来自X的一个样本，试确定常数C，使为的无偏估计解法一 因为，故 , ,,()( 若写出,则错了,因为不独立.)故 ,而由 得到 于是 ，故解法二 因为独立同分布,,()，因而 ， ，故 解法三 , ,因独立同分布，故 ， , ,于是 为使其为的无偏估计，必有 ，即 解法四 由得到 故 注意 上例解法四推演步骤甚多，但其使用的手法是很重要的这个手法就是遇有随即变量之差的平方时，将这个差变形为 ，从而将差的平方与方差联系起来显然，由例1我们看到，X，（）和都是总体均值的无偏估计。
同时总体均值的无偏估计，究竟哪个“最佳”？这就涉及到第二个标准 二、最小方差无偏估计 设是的无偏估计量，,我们很自然的要求与尽可能接近，也即要尽量小而 ,这就看出，当是的无偏估计量时，其方差越小越好因此方差最小的无偏估计就是一个“最佳”的估计 定义3 设是的一个无偏估计，若对于的任一无偏估计，成立 ,则称是的最小方差无偏估计例2设为来自于总体的样本,总体均值,总体方差,求的最小方差线性无偏估计解 已知独立且与同分布, ,,; 的线性估计是将的线性函数 作为的估计量问题是如何选取的值，使得无偏性和最小方差这两个要求都能得到满足易知 , , 无偏性要求,最小方差要求达到最小，这是一个求条件极值问题，用拉格朗日乘数法，令 对求偏导得 解方程组 , , 得 ,即全相等，记，由条件 ,得到，于是 ,是的最小方差无偏估计。
从这里，我们看到了选取样本均值作为总体均值的估计的优良性质若和都是的无偏估计量，且成立，则通常称估计量较有效,或较佳,或较优.例 设为总体的一个样本,试证下列估计量,,,都是总体均值的无偏估计量,且问哪一个最佳？证明 已知独立同分布, ,,, ,,, 所以都是的无偏估计量; , , 于是,故最佳.三、一致估计设为总体参数的估计量，显然与样本有关，我们希望会随着样本容量的增大而越接近于，这一要求便是衡量估计量好坏的另一标准定义4 设为未知参数的估计量，若依概率收敛于，即对任意的,成立 , (8.7)或 , 则称为的一致性估计例8试证样本均值为总体均值的一致性估计证 因为 ,所以，对于相互独立且服从同一分布的随机变量，由大数定理，即得 , . 此外，还可证明样本方差是总体方差的一致性估计 还有别的优良性标准，这里不再介绍例9 证明正态总体的样本方差是总体方差的一致性估计量 证 由切比雪夫不等式有 ,而 ,所以 .上式两边取极限并注意到概率不能大于1，即得 .证毕.第三节 置信区间 在前面，我们讨论了总体参数的点估计问题，用作为的估计，但与到底相差多少没有给出。
在这里，我们要给出所在的一个区间，同时还要给出此区间包含参数的可靠程度，这就是对参数的区间估计问题首先，给出置信区间和置信限的概念 为讨论方便，在本章一下各节中，我们用表示总体的样本，也表示样本值.(根据具体情形(上下文含义),可以区别出来)一、置信区间 设总体分布含有一未知参数，又为来自于总体的样本，若对于给定，统计量和满足 ,(8.8) 则称区间为相应于置信度是的置信区间，简称置信区间 和分别称为置信下限和置信上限称为置信度 由于和是统计量，它们是随机变量，因此区间是随机区间 从式（8.8）看出，我们有的把握保证 当很小时，随机区间以较大的概率包含.具体地说，如果作多次抽样（每次抽个样品），每次抽样得到的样本值可以确定一个区间，每个这样的区间可能包含，也可能不包含,但是在这么多区间中，包含的约占，不包含的只占左右例如，当＝0.05时，我们作100次抽样，则从平均的意义上说，将有95个区间包含显然，置信区间的长度与样本容量有关我们自然希望置信区间越短越好，在不变的情况下，只有加大样本容量，才能缩短置信区间的长度。
的大小可视具体情况而定二、单侧置信限 在有些实际问题中，我们只关心置信区间的下限或上限，即给出置信区间或就够了例如在考虑元件器的使用寿命时，平均寿命越长越好，平均寿命过短就有问题对于这种情况，我们关心的自然是置信下限了 若对于给定的，统计量满足 , (8.9) 则称区间为相应于置信度是的单侧置信区间，称为置信度是的单侧置信下限 若统计量满足 , (8.9)则称区间为相应于置信度是单侧置信区间，称为置信度是的单侧置信上限 问题:如何确定总体参数的区间估计呢？对于一般总体是难于确定的.现仅能确定正态总体中参数的区间估计.这对许多实际应用就够了.。