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1、一求函数定义域、值域措施和典型题归纳一、基本知识整合1函数的定义:设集合A和B是非空数集,按照某一拟定的相应关系f，使得集合A中任意一种数x，在集合B中均有唯一拟定的数f(x)与之相应。则称f：为A到B的一种函数。2.由定义可知:拟定一种函数的重要因素是拟定的相应关系（f），集合A的取值范畴。由这两个条件就决定了(x)的取值范畴yf(x），。.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，因此必须明白定义域指的是：()自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（)数学表达：注意一定是用集合表达的范畴才干是定义域，特殊的一种个的数时用“列举法”；一般表达范畴时用集合的“描述法”或“区间”来表达。4.值域:
2、是由定义域和相应关系()共同作用的成果,是个被动变量,因此求值域时一定注意求的是定义域范畴内的函数值的范畴。（1)明白值域是在定义域内求出函数值构成的集合：|y(x)，xA。（2)明白定义中集合B是涉及值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和措施总结1已知函数解析式时：只需要使得函数体现式中的所有式子故意义。(）常用状况简总：体现式中浮现分式时:分母一定满足不为;体现式中浮现根号时：开奇次方时，根号下可觉得任意实数;开偶次方时,根号下满足不小于或等于0(非负数）。体现式中浮现指数时:当指数为0时,底数一定不能为根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下不小于
3、0体现式中浮现指数函数形式时：底数和指数都具有x,必须满足指数底数不小于0且不等于.（0底数1）体现式中浮现对数函数形式时：自变量只出目前真数上时,只需满足真数上所有式子不小于0,且式子自身故意义即可;自变量同步出目前底数和真数上时，要同步满足真数不小于0,底数要不小于且不等于1.(）注：(）浮现任何情形都是要注意，让所有的式子同步故意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 (2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形如：)练习1、求下列函数的定义域: 1、（1） (） （3）2.抽象函数(没有解析式的函数）解题的措施精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的
4、换元思路解题,因此核心在于求括号整体的取值范畴。总结为:（1）给出了定义域就是给出了所给式子中的取值范畴；(2）在同一种题中x不是同一种x;(3)只要相应关系f不变，括号的取值范畴不变。(4）求抽象函数的定义域个核心在于求f()的取值范畴，及括号的取值范畴。例1:已知f(x+1)的定义域为-1,1,求f（2x-1）的定义域。解：f(x+1）的定义域为-1,1；(及其中x的取值范畴是-1,1）； （+1的取值范畴就是括号的取值范畴)f(x）的定义域为0,2；（不变,括号的取值范畴不变)f(2-1）中f(2-)的定义域为练习2、 设函数的定义域为，则函数的定义域为_、； _；函数的定义域为_; 3
5、、若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。3.复合函数定义域 复合函数形如:,理解复合函数就是可以看作由几种我们熟悉的函数构成的函数,或是可以看作几种函数构成一种新的函数形式。例2:分析：由题目可以看出g()是由yx+、y=x2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，因此只规定出f(x1)和f(x-2)的定义域,再根据求函数定义域要所有式子同步满足,即只规定出f(+1)和(x2)的定义域的交集即可。解:由f(x)的定义域为（,3)，则 f(x+1)的定义域为(-3,2),f(x-2）的定义域为（,4）；，解得0x2因此,(x）的定义域为(0,）.（一）求函数值域措
6、施和情形总结.直接观测法（运用函数图象)一般用于给出图象或是常用的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范畴。练习（1） 求值域。 2.配措施合用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数,此时注意对称轴的位置，在定义域范畴内(以a为例),此时对称轴的地方为最大值,定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值;对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点:（1）含参数的二次型函数,一方面判断与否为二次型，即讨论a；（2)不为0时,讨论开口方向；(3)注意区间,即讨论对称轴。例1:求解:配方: f（x)的对称轴为=2在1,5中间（端点5离x2距离较远，此时为最大值）因此，f()的值域为,
7、11.练习（2） 求值域。3分式型（）分离常量法：应用于分式型的函数,并且是自变量x的次数为1,或是可以看作整体为1的函数。具体操作:先将分母搬到分子的位子上去，观测与原分子的区别,不够什么就给什么,化为。例2:解：由于分母不也许为,则意思就是函数值不也许取到，即:函数f(x）的值域为练习 求值域（3）（）运用来求函数值域：合用于函数体现式为分式形式,并且只浮现形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数,显然用分离常量法是行不通,只有另想它法（有界变量法)。例:求函数的值域.解：由于不等于0，可将原式化为 即（由于） 只需，则有 因此,函数值域.练习（4） 求值域 （）方程根的鉴别式法
8、：合用于分式形式，其中既浮现变量又浮现混合,此时不能化为分离常量，也不能运用上述措施。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的鉴别式法。 例：求函数的值域 解：由于函数的定义域为R，即 原式可化为 (由于x可以取到任意的实数,那么也就说总有一种x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么鉴别式不小于或等于0，注:这里只考虑有无根，并不考虑根为多少） 因此,因此,函数值域为练习：求值域 （5） 4.换元法 通过换元将一种复杂的问题简朴化更便于求函数值域，一般函数特性是函数解析式中具有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其重要是让我们明白一种动态的措施来学习的一种思路，注重换元
9、思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应当多加平时练习。注：换元的时候应及时拟定换元后的元的取值范畴。例5:求函数的值域 解：令，带入原函数解析式中得 由于, 因此，函数的值域为.练习：求值域(6）一选择题(共0小题).（河东区一模）若函数(x)的定义域为，函数g（）=的定义域为B，则使A=的实数的取值范畴是（) A（1,3）B.1,C(2，)D.2，2若函数(x）的定义域是1，则函数（x+1)的定义域是（ ） A1，1.0，2C.,0D0,1 （重庆)函数的值域是（ ） A0,+）B.0,4C.0，）D(，4) (河东区二模)函数的值域是（ ） A（,)B.（0，）.(,) 5.已知函数y
10、=2+4x5,3,）时的值域为（ ) A.(2,6）B.1，6)(1，26)D.(1，26 6.函数=在区间3，4上的值域是（ ）A.1,2B.3，4C.2，3D.1,6 7.函数f(x)=2+32x3在区间2,上的值域为( ） A.，2B.6,22.，20D,8函数的值域是（) A.yR且yB.y|4y1C.y|y4且y1DR函数yx2x（1x2)的值域是（ )A,3B.1，3C.,D.1，3)1函数的值域为()A2,+)BC.D.(0，二.填空题1.(安徽)函数ln（1）的定义域为_ 2(四川）函数的定义域是 _ (用区间表达) 1.求定义域： 14.函数=x2+2x,x3，的值域是 _. 1函数y=10的值域是 _ .
