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1、投资的收益与风险问题市场上有种资产（如股票、债券、）()供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（）已知时的相关数据如下： 资产收益率(%)风险率(%)交易费(%)阀值(元)282.51103211.5219
2、8235.54.552252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。模型分析本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策
3、，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。设购买Si （i=0,1.n;S0表示存入银行，）的金额为xi;所支付的交易费为ci(xi)，则：对Si 投资的净收益为:（i0，1，n）对Si投资的风险为: （i0，1，n），q0=0对Si 投资所需资金（即购买金额 xi 与所需的手续费 ci(xi) 之和）是（i0，1，n）投资方案用 x=（x0，x1，xn）表示，那么，净收益总额为：总风险为：= 所需资金为：所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为：但是
4、像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单的单目标模型。模型假设假设该公司在这一时期内是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费用开支；在这一时期市场发展基本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策无较大变化；公司的经济发展对投资无较大影响资产投资是在市场中进行的，市场是复杂多变的，是无法用数量或函数进行准确描述的，因此以上的假设是必要的，一般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资， 市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的，以上假设
5、也是合理的。模型建立1）模型a假设投资的风险水平是k,即要求总风险Q（x）限制在k内，Q（x），则模型可转化为：max s.t 2）模型b假设投资的收益水平是h，即净收益总额不少于 h：h，则模型可转化为：s.t 3）模型c假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为（0），则模型可转化为：s.t.模型求解由于交易费 ci(xi)是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 Si，其投资额 xi 一般都会超过 ui，于是交易费 ci(xi)可简化为线性函数从而，资金约束简化为净收益总额简化为在实际进行计算时，
6、可设 M=1，此时 =（）（i0，1，n）可视作投资 Si 的比例. 以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.1）模型 a 的求解模型 a 的约束条件 Q(x)k 即k，所以此约束条件可转化为（i0，1，n）.这时模型 a 可化简为如下的线性规划问题：具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：s.t （i0，1，4）利用matlab7.1 求解模型a输出结果是0.177638, x0 - 0.158192, x1 - 0.2, x2 - 0.333333, x3 - 0.0909091,x4 - 0.192308这说明投资方案为（0.158192，0.2
7、，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.当 k 取不同的值（00.025），风险与收益的关系见图1.输出结果列表如下：表1.模型1的计算结果风险水平k最大收益00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.49490.120.20.05450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760
8、.15820.20.33330.09090.19230.0060.201900.240.40.10910.22120.0070.206600.280.46670.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.
9、640.3467000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.2278000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000图1.模型1中风险k与收益的关系2）模型 b 的求解模型 b 本来是极小极大规划：s.t. hx0但是，可以引进变量 xn+1=，将它改写为如下的线性规划：s.t
10、 ,i=0,1,2,n,h,x0具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：min x5s.t （i0，1，5）利用 matlab7.1 求解模型 b，当 h 取不同的值（0.10.25），我们计算最小风险和最优决策,收益水平h取，结果如表2所示，风险和收益的关系见图2.表2.模型2的计算结果风险水平k最大收益0.0020.10.67020.07830.13060.03560.07530.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.4
11、7240.12540.20890.0570.12050.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.150.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.20370.33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.226
12、0.00780.2100.31140.5190.05690.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600图2.模型2中风险与收益h的关系3）模型 c 的求解类似模型 b 的求解，我们同样引进变量 xn+1=，将它改写为如下的线性规划：min xn+1（1）s.t ,i=0，1，2，nx0具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题题中给定的数据，模型为：s.t （i0，1，5）利用 matlab7.1 求解模型 c，当 取不同的值（
13、0.750.95），我们计算最小风险和最优决策输出结果列表如下：表3.模型3的计算结果风险水平最大收益率0.760.02480.267300.99010000.770.02480.267300.99010000.780.00920.216500.36930.6147000.790.00920.216500.36920.6148000.80.00790.210700.31510.52180.143100.810.00920.216500.36870.6154000.820.00740.208400.29570.49280.13440.05470.830.00790.210600.31390.52350.142500.840.0060.201700.23860.397
