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1、曲线拟合的最小二乘法第6章 曲线拟合的最小二乘法6.1拟合曲线通过观察或测量得到一组离散数据序列小-皿，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数厂用，构造的原则是要求插值函数 通过这些数据点，即 祕砧二曲=12辭。 此时，序列QFZ曲），佩心沪与F Pi几必）是 相等的。,=J如果数据序列也小 含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数畑最优地靠近样点，即向量Q = W 吋.您沪 与F =（丹必，丿就尸 的误差或距离最小。按与F之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。图6
2、.1含有“噪声”的数据图6.2 一条直线公路与多个景点插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。向量。与y之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如: 用各点误差绝对值的和表示:尽=工诚舌一必2-1用各点误差按模的最大值表示:用各点误差的平方和表示：或 n；（6.1）其中应称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述 用最小二乘法构造拟合曲线的方法。在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。 例如，它是统计学中估计
3、回归参数的最基本方法。关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和 勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小 二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学 史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在 选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类 型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法
4、找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列S型加 设主干路为一 条直线祕沪即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差抄最小值而确定直 线方程（见图62）。單 觀Q34 =工（祕咼）-=工（说+臨-旳）2-1 2-16.2线性拟合和二次拟合函数线性拟合给定一组数S輻= 严，做拟合直线尹=”&，均方误差为(6.2)=工尸再）-必=工（沙竝-”）之2-1 !-1久以是二元函数.Q佃Q的极小值要满足加j_l、）冷 “、n一五一=2a +bxi 一”近=0 恥 it整理得到拟合曲线满足的方程：(
5、6.3)r能12-1T-(就2-112-12-1j称式（63 ）为拟合曲线的法方程。用消元法或克莱姆法则解出方程:M2-12-1純*2-1MMi-1f-1f-14 -恵Jfii-111例6.1下表为P. Sale及R. Dybdall在某处作的鱼类抽样调查，表中尤为鱼的数量，卩为鱼的种类。请用线性函数拟合鱼的数量和种类的函数 关系。1315162122232529303136711101112121313121416174042556062647072100130713142214212124172334解：设拟合直线巩对=”以，并计算得下表:将数据代入法方程组（63）中，得到： 21956
6、7r 344 1956 61640h /189131 /解方程得：出=8.2084 ,b = 0.1795拟合直线为：尹（力=8.2084 + 0.1795X编 号xyxyx21131114316921510150225316111762564211225244152212264484-21130344420169009563441891361640二次拟合函数 给定数据序列彷皿厂 叽申，用二次多项式函数拟合这组数据 设戶=呦+呼+砌/，作出拟合函数与数据序列的均方误差：熬 耿-0（矶，眄卫2）=工戸玛）_旳=工（乜他斗吋;一旳（6.4）由多元函数的极值原理，（呦円宀）的极小值满足=2工乜込十
7、勺才-再=02-1M=2工仙0 码+旳 -曲兔=02-1附_=2三佃十他再十址才一才=0 !-1整理得二次多项式函数拟合的法方程：KI900In 托Rg11n迁滾 *rfl6寸S7TTZHEZEs1ZzIIooIEz1zE寸H esssss 骨盍。s黑留世 SHSW归 - s s. a 3 sliSSWKs(s9)崔K7 rlI-毬WS60T=.马:斑皇卿翔期iXS60CI 0 -工9號6【9999*0 =圧：9號6【=W 1 99990= ZgfBiKS60I 0 -L- = 961+ T0+6-=啦十啦EE十0卜I =如玄4- Q 4-如匚:*8皇輙确（F9）致鮎第母960L8761pz18LZ射.6刃9188t 1Z1IIIII00000001II结果见图63。图6.3拟合曲线与数据序20-E3Paiynomial FiiofB18 -16-
