word抛物线有关压轴题复习一、基本模型构建常见模型思考在边长为 1 的正方形网格中有 A, B, C 三点，画出以 A,B,C 为其三个顶点的平行四边形 ABCD在射线 BD 上可以找出一点组成三角形，可 ABC BEC、 △CBD 为等腰三角形二、拔高精讲精练探究点一：因动点产生的平行四边形的问题例 1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△AMB 的面积为 S．求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值．（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶点的 四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标1 / 6ï ï ï 2 word解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），ì16a -4b +c＝0将 A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得： íc＝-4ïî4 a +2b +c＝0解得ì 1a＝2ïíb＝1c＝ -4ïî1，所以此函数解析式为：y= x22+x−4；1（2）∵M 点的横坐标为 m，且点 M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m， m +m−4），2∴S=SAOM OBM AOB1 1 1 1×4×（- m2-m+4）+ ×4×（-m）- ×4×4=-m2-2m+8-2m-8 2 2 2 2=-m2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m＜0，当 m=-2 时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2 时 S 有最大值 S=4．（3）设 P（x，12x2+x-4）．当 OB 为边时，根据平行四边形的性质知 PQ∥OB，且 PQ=OB，∴Q 的横坐标等于 P 的横坐标，又∵直线的解析式为 y=-x，则 Q（x，-x）．由 PQ=OB，得|-x-（12x2+x-4）|=4，解得 x=0，-4，-2±25．x=0 不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知 A 与 P 应该重合，OP=4．四边形 PBQO为平行四边形则 BQ=OP=4，Q 横坐标为 4，代入 y=-x 得出 Q 为（4，-4）．由此可得 Q（-4，4）或（-2+25，2-25）或（-2-25，2+25）或（4，-4）．2 / 6word【变式训练】如图，经过点 C（0，-4）的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴相交于 A（-2，0），B 两点．（1）a ＞ 0，b2-4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线 x=2 对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接 AC，E 是抛物线上一动点，过点 E 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F．是否存在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说 明理由．解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线 x=2 是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），∵点 C（0，-4），将 A，B，C 的坐标分别代入 y=ax2+bx+c，解得：a=1 4，b=- ，c=-4，3 3∴抛物线的函数表达式为 y=1 4x2- x-4； 3 3（3）存在，理由为：（i）假设存在点 E 使得以 A，C，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点 C 作 CE∥x 轴，交抛物线于点 E，过点 E 作 EF∥AC，交 x 轴于点 F，如图 1 所示，则四边形 ACEF 即为满足条件的平行四边形，∵抛物线 y=1 4x2- x-4 关于直线 x=2 对称，∴由抛物线的对称性可知，E 点的横坐标为 4， 3 3又∵OC=4，∴E 的纵坐标为-4，∴存在点 E（4，-4）；（ii）假设在抛物线上还存在点 E′，使得以 A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点 E′作 E′F′∥AC 交 x 轴于点 F′，则四边形 ACF′E′即为满足条件的平行四边形， ∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图 2，过点 E′作 E′G⊥x 轴于点 G，3 / 62 î word∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴CAO E ′G，∴E′G=CO=4，∴点 E′的纵坐标是 4，∴4=1 4x2- x-4， 3 3解得：x =2+2 17，x =2-227，∴点 E′的坐标为（2+2 7 ，4），同理可得点 E″的坐标为（2-2 7 ，4）。
小结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种 可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形①确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时， 则这条线段可能为平行四边形的边或对角线探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题例 2: 如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B 与 y 轴交于点 C（0，3），抛 物线的对称轴与 x 轴交于点 D．（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点 P 的坐标）；（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M、N 同时停止运动，问点 M、N 运动到何 处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．ì1+b+c＝0解：（1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x +bx+c， íc＝3，解得：b=-4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；（2）令 y=0，则 x2-4x+3=0，解得：x=1 或 x=3，∴B（3，0），∴BC=3点 P 在 y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1，①当 CP=CB 时，PC=3 2 ，∴OP=OC+PC=3+3 2 或 OP=PC-OC=3 2 -3 ∴P （0，3+3 2 ），P （0，3-3 2 ）；1 2②当 PB=PC 时，OP=OB=3， ∴P （0，-3）；③当 BP=BC 时，∵OC=OB=3，34 / 61 2 1 2word∴此时 P 与 O 重合，∴P （0，0）；综上所述，点 P 的坐标为：（0，3+342）或（0，3-32）或（0，-3）或（0，0）；（3）如图 2，设 AM=t，由 AB=2，得 BM=2-t，则 DN=2t，∴SMNB12×（2-t）×2t=-t2+2t=-（t-1）2+1，即当 M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB 面积最大，最大面积是 1。
变式训练】如图，已知二次函数 y =-x2+1134x+c 的图象与 x 轴的一个交点为 A（4，0），与 y 轴的交点为 B，过 A、B 的直线为 y =kx+b．2（1）求二次函数 y 的解析式及点 B 的坐标；1（2）由图象写出满足 y ＜y 的自变量 x 的取值 X 围；1 2（3）在两坐标轴上是否存在点 P，使得△ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 的坐标；若不存在， 说明理由．解：（1）将 A 点坐标代入 y ，得-16+13+c=0．解得 c=3，1二次函数 y 的解析式为 y=-x2+ 1134x+3，B 点坐标为（0，3）；（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是 x＜0 或 x＞4， ∴x＜0 或 x＞4 时，y ＜y ；1 2（3）直线 AB 的解析式为 y=-3 3 x+3，AB 的中点为（2， ），4 24 7 7 7AB 的垂直平分线为 y= x- ，当 x=0 时，y=- ，P （0，- ），3 6 6 69 7当 y=0 时，x= ，P （ ，0），4 87 7综上所述：P （0，- ），P （ ，0），使得△ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形。
6 85 / 6【小结】这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角形，解决的基本思路时是： 假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.6 / 6。
