《辅助角公式的推导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《辅助角公式的推导（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、辅助角公式asin bcos va2b2 sin()的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化asin bcos为一个角的一 个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等 .为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法，教师们总结出公式asin bcos = aab2sin(asin bcos =402b2 ,cos()，让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违，半个学期不到，大局部学生都忘了，教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习，再次忘记，教 师还得重推！本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导 ，表达一种解决问题的 过程与方法,减轻学生的记忆负担；同时说明“辅助角的
2、围和常见的取角方法，帮 助学生澄清一些认识；另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用，优化解题过程与 方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用，让学生把握辅助角与原生角的 围关系以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1引例例1求证：J3sin+cos =2sin+ 一=2cos其证法是从右往左展开证明，也可以从左往右“凑，使等式得到证明，并得出结 论：可见,J3sin +cos 可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin +bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢 ？2.辅助角公式的推导例2化asin bcos为一个角的一个三角函数的形式.2,
3、a呷华：asin +bcos = a b (-sinJa2b2+ cos ),Ja2 b2,2 b =sin那么 asin +bcos a2 b2 (sin cos+cos sin )= a2b2 sin(一， b+),(其中 tan =)a1、人a令 ,r二sin.a2b2,=cos ab2，那么asin +bcos =、a2b2 (sin sin +coscos )= a2 b2 cos(. a),(其中 tan=)b其中的大小可以由sin 、cos的符号确定的象限，再由tan的值求出. a2b2b 一或由tan二一和(a,b所在的象BM来确止.推导之后，是配套的例题和大量的练习.但是这种
4、推导方法有两个问题：一是为什么要令/ 二二cos , t - =sin ?U学生费解.二是这种“规定式的推导a2 b2, a2 b2学生难记易忘、易错！二.让辅助角公式asinbcos = JOb2 sin()来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些 热是我多少年来一直思考的问题.2021年 春.我又一次代2021级学生时，终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的y教学推导方法.首先要说明，假设a=0或b=0时,a sin bcos已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有abw0.1.在平面直角坐标系中，以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b训图1所示，那么sina2b2cosb
5、2所以asin+bcos = a2 b2 cossin + a2b2 sincos总有一个角，它的终边经过点P.设OP=r厂后b2,由三角函数的定义知2假设在平面直角坐标系中，以b为的终边2. 2b、=* a b sin().(其中 tan =一)a2所示，那么总有一个角的终边经过点f P(b,a)横坐标以a为纵坐标可以描点P(b,a)如图cosasin+bcos = a2b2sin sin a2 b2 cos cosP(b,a)设 OP=r,那么 r= Va2b2 .由三角 函数的定义知o x图2sinb2a2b2cos().(其中 tan例3化J3sincos为一个角的一个三角函数的形式解
6、：在坐标系中描点P(J3,1)，设角 的终边过点P,那么op=r= ,3 2 3sin；21 31 =2.sin = - ,cos =2k 6,3sin cos =2sin( )6经过屡次的运用，同学们可以在教师的指导下，总结出辅助角公式asin +bcos2.72a= a b (- sin、a2 b2cos )= a2 b2 sin()，(其中tan =-).或者aasin +bcos= a2b2 ( sinla2b2b、a2 b2cos )= a2 b2 cos(),(其中 tan = a ) bCOS =2cos sin +2sin cos =2sin(我想这样的推导，学生理解起来会容易
7、得多，而且也更容易理解asin +bcos凑成4ab了 ( / a isin + / b 工cos )的道理，以及为什么只有两 a2b2Ja2 b2种形式的结果.例4化sinJ3cos为一个角的一个三角函数的形式sin53满足条件的最小正角为解法一：点(1,- J3 )在第四象限.OP=2.设角 过p点.那么225 2k ,k 乙3sinsin2sin(sin2cos(一.1 .3cos2(sin2)2sin(p(- J3 ,1)在第cos2k ,k3 cosZ.避 cos ) 2(sin 22k ) 2sin(象限，OP=2,设角2(-sin2、-，5)2cos(6关于辅助角的围问题足条件的
8、2k由 asin bcos a2 b2 sin(coscos sin ).那cos ) 2(sin sin coscos )-，5 、2cos( ).6)中，点P(a,b)l勺位置可知过点P(a,b为角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1，那么1 2 k .由诱导公式(一)知a sinbcos.a2b2 sin( )a2 b2 sin( 1)中 i (0,2),tan1的具体位置由sin 1与cos 1决定,1的大小由tan 1bi一决定. a类似地,asinbcos a2 b2cos(),的终边过点p b,，设满足条件的最小正角为2,那么2k .
9、由诱导公式有asin bcos a2 b2 cos(V32b2 cos( 2),其中 2 (0,2 ), tan2的位置由sin 2和cos 2确定，2的大小由 tan 2注意：一般地，12；以后没有特别说明时，角 1或2是所求的辅助角.四.关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式. 在实际中结果是化为正弦还 是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为 a sin bcosJa2 b2 sin(1)的 形 式 或a sin bcosVa2b2cos(2)的形式.可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理.例5 化以下三角函数式为一个角的一个三角函
10、数的形式.1、3sin cos, *in( 63、.3sin解： 1、飞.cos 2(sin21cos ) 22(sincos- cos sin) 662sin( )6J2 /、二-sin(T)63刍1sin(23 23-2. .-sin( - 332 . 2sin(一3 3、上coscos(-)6313) -2cos(-)cos cos( )sin 333在本例第1小题中，a J3, b1,我们并没有取点p J3,1，而取的是点p J3, 1.也就是说，当a、b中至少有一个是负值时.我 们可以取p同，|b|，或者p|b|,|a|.这样确定的角1或2是锐角， 就更加方便.1、例 6 向重 a
11、(cos(x 一),1),b (cos(x ),-), 332i-kh- h-c(sin(x 一),0),求函数h(x)=abb c2的最大值及相应的x3的值.2,、 1解:h(x) cos (x )-sin(x )cos(x3) 221 cos(2x -)212sin(2x 一 )231 2一sin(2x )2 32 x 2一 )sin(2x322) 21 2 、=cos(2x )2 32r .2= _- cos(2x2 小 11 、=-cos(2x )212h(X)max 2 2、11111_这时2x2k ,x k .k Z.1224此处假设转化为两角和与差白正弦公式不仅麻繁，而且易错，请
12、读者一试.五与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比拟常见，而且涉及辅角的围，在相应围求 三角函数的最值往往是个难点.例7如图3,记扇OAB的中心角为45，半径为1,矩形PQMN接于这个扇形， 求矩形的对角线l的最小值.解：连结OM,设/AOM=.那么 mq= sin ,oq= cos ,op=pn= sin pq=oq-op= cos sin .l2 MQ2 PQ2=sin(cos sin )21(sin 2-cos2 )21 arctan-. 5 . G 、(0,-), 1sin(2 1),其中 tan2.0arctan - 2l2min，1 min22,5 12arctan1.2所以当11J5 1 arctan时，矩形的对角线l的最小值为 一-
