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1、长方形、正方形、平行四边形的特征与知识 长方形性质 对角线相等且互相平分 有四条边 对边平行且相等 四个角都相等且都是直角 四个角度数和为360 有2条对称轴 在没有数据的情况下，水平的那一边为长，垂直的那一边为宽。 长方形判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等且互相平分的四边形是矩形长方形面积计算公式 面积公式矩形面积公式：长宽 长方形面积字母公式：S=ab 长方形周长计算公式 长方形周长文字公式：(长+宽)2 长方形周长字母公式：C=(a+b)2正方形性质 边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直 内角：四个
2、角都是90； 对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。判定方法 1：对角线相等的菱形是正方形。 2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形。 3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。 4：一组邻边相等的矩形是正方形。 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。 7.有一个角为直角的菱形是正方形。 依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方
3、形的中点四边形是正方形。 面积计算公式：S=aa 或：S=对角线对角线2 周长计算公式: C=4a 正方形是特殊的矩形 , 菱形， 平行四边形，四边形平行四边形特点 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。 （简述为“平行四边形的对边相等”） 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。 （简述为“平行四边形的对角相等”） （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。 （简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”） （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。判定 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角
4、线互相平分的四边形是平行四边形 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质 连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。 如果一个四边形的对角线互相平分， 那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。 平行四边形的对角相等，两邻角互补 过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。 平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形） 平行四边形中常用辅助线的添法 一、连结角线或平移对角线 二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形 三、连结对
5、角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 四、连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等 平行四边形对边平行 平行四边形的对角相等 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心面积与周长 1.平行四边形的面积可以底乘高（推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“s平“表示平行四边形面积， 则S平=ah 2.平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a表示底1，“b”表示底2，“c平“表示平行四边形周长， 则C平=2（a
6、+b）三角形的性质 1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。 2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方-勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 重心：三条中线的交点。 性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离
7、的2倍。 垂心：三条高所在直线的交点。 性质：此点分每条高线的两部分乘积 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质：到三边的距离相等。 界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。 性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。 欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。 7.一个三角形最少有2个锐角。 8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边
8、相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。 10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a+b=c 那么这个三角形就一定是直角三角形。三角形的边角之间的关系 （1）三角形三内角和等于180； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形
9、的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。 （10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 （11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。 （12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。 注意: 三角形的内心、重心都在三角形的内部 . 钝角三角形垂心、外心在三角形外部。 直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。） 锐角三角形垂心、外心在三
10、角形内部。三角形的面积公式 (1)S=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高） (2)S=1/2*ac*sinB1/2*bc*sinA1/2*ab*sinC（三个角为ABC，对边分别为a,b,c，参见三角函数） (3)S=s*（s-a）*（s-b）*（s-c） 【s=1/2(a+b+c)】（海伦秦九韶公式） (4)S=abc/（4R）【R是外接圆半径】 (5)S=1/2*(a+b+c)*r 【r是内切圆半径】 等腰梯形的性质 1等腰梯形的两条腰相等 2等腰梯形在同一底上的两个底角相等 3等腰梯形的两条对角线相等 4等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线 5等腰梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一编辑本段判定 1一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形 2两腰相等的梯形是等腰梯形 3同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 4有一个角是直角的梯形是直角梯形 5对角线相等的梯形是等腰梯形编辑本段周长、面积 梯形的面积公式：（上底+下底）高2。 用字母表示：（a+b）h2 梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰 用字母表示：a+b+c+d
