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1、、圆柱坐标系和球坐标系中梯度、散度及旋度表达式的推导1、哈密顿算符表达式的推导x = r cos pr = J x 2 + y 2y = r sin pyp arctanx( 1.2)z=zz=z我们知道在直角坐标系下，哈密顿算符的表达式为 d 一 d 一 d 一V = e + e + e(1.1)dx xdx yOx z又圆柱坐标系和直角坐标系的坐标变换关系如下：其单位向量的变换关系如下 、e = e cosp + e sin 申rxyAe = -e sin p + e cos pPxy e = ezz1.3)e = e cos p - e sin px rp e = e sin p + e
2、 cos p yrp e = ezz1.4)再根据高等数学中多元复合函数的求导法则可推得OOdrQQpdxd y . .OxOrOxOpOxOrrOpr 2OO 1 .cos p sin pOrOp rOOOrO OpOyOx . OyOrOyOp OyOrrOpr 2O . O 1 -sin p + 一 cos pOrOp r1.5)将式( 1.5)和( 1.4)代入( 1.1)中，可得V G cosp 2.1 sin p)(e cosp e sinp)OrOp rrpOO1O + ( sinp +一 cosp)(e sinp + e cosp) +eOrOprrpOz z1.6)O 一 1
3、 O 一 O e + e + eOr r r Op pOz z此即圆柱坐标系下的哈密顿算符的表达式。球坐标系和直角坐标系的坐标变换关系如下：x = r sin 0 cos p y = r sin 0 sin p z = rcos0r = Jx2 + y 2 + z 2tan 0=空工z1.7)tan p =x两者单位向量变换关系如下：e = sin0 cospe + cos0 cos pe - sin pe兀r0(pe = sin 0 sin pe + cos0 sin pe + cos pe yr0pe = cos0 e - sin0ezr0根据多元复合函数求导法则，可得：1.8)aaa1=
4、 sin 0 cosp +cos0 cos p -axara0raaa1= sin 0 sin p +cos0 sin p +cospayara0rap paaa 1=cos0 一-sin0 azara0 r(p = *x2 + y 2 = r 2 - z 2 = r sin 0)a 1 . sin p ap p a 11.9)将（1.8）式和（1.9）式代入（1.1），可得：aa -a -一一一V = ( sin 0 cosp +cos0 cos p -sin p)(sin0 cospe + cos0 cospe - sin pe )ara0 rap pr0paa-a-一一一+ (sin0
5、sin p +cos0 sin p +cosp)(sin0 sin pe + cos0 sin pe + cospe )ara0rappr0paa i一一+ ( cos0 - c sin0 )(cos0 e - sin0 e )ara0 rr0a 一 - a 一 - a 一= e + e +ear rr a0 0 r sin0 ap p(1.10)此即球坐标系下的哈密顿算符的表达式。2、散度表达式的推导直角坐标系下的散度表达式如下： aAaAaAVQ4 =x +y +丁axayaz1.11)在圆柱坐标系中，有a - a a (V = e + e + e和 A = A e + Ae + Aear
6、 r r ap paz zr r p z z zr/ d 一1 d 一d 一、“ 人一人一人一、1.12)VQ4 = ( e + e + e )DA e + A e + A e ) dr r r d4 4 dz z r r 4 z z zdA 1 d . . 一 a 、 dA= 严 + e D (A e + A e ) + z-dr r 4 d4 r r 4 4 dz考虑到圆柱坐标系中，和e都是变矢量，在式（1.3）中，将这两个变量均对4求导,r4可得：de 一 r = ed申 申de一4 = e d申r_将该式代入（1.12）化简得到：VQ4 =竺 +1A +dr r rdA dA1 d /
7、 . 4 e + z = rA ) d4 4dzr drr同理可求得在球坐标系中，散度表达式如下：VDA =丄(r2A ) + 1 乡(sin0 A ) + 1 纥r2 drr rsin0 d00 rsin0 d4因为拉普拉斯算子可看成是先做梯度运算再做散度运算，即d d d 一du du du 、V2u = VDVu = ( e + e + e )12( e + e + e )dx xdy ydz zdx xdy ydzd2u d2u d2u= + + dx2 dy 2 dz 2对于圆柱坐标系，上式应写成d 一 1 d 一 d 一、“ du 一 1 du 一 du V2u = ( e + e
8、 + e )( e + e + e dr rr d44dzzdrr rd44dz1 d du1 d2u d2u=(r )+r dr dr r 2 d42 dz2读者可根据前述相关分析与证明推得上式。 同理可推得球坐标系中，有d 2uV2u =丄 1 (r 2 里)+ 亠-1 (sin 0 瑣)+.。r2 dr dr r2 sin0 d0 d0 r2 sin2 0 dp23、旋度表达式的推导直接写出v和A矢量积的代数表达式，并牢记圆柱坐标系中,着4的变化而变化，球坐标系中， er、e4、ez 会随0、4变化而变化1.13)1.14)1.15)1.16)1.17)1.18)er和鬻是变矢量，会随可
9、得到圆柱坐标系和球坐标系下的旋度表达式。圆柱坐标系下，有vx a 二 e1 竺一虫)+e (竺一竺)+e-(必)-竺 r r Qq dz申 Qz drz r dr 申 r Qq1.19)球坐标系下，有Vx A = -r sin0eQ + ” (rA )r Qr0(sin0 A )虫+ e竺(rA )qQqr sin 0 QqQrq二、“梯度的旋度恒为0”的推导及其应用在教材第 24 页写明了梯度的一个重要性质：梯度的旋度恒等于 0证明。Q 一 Q 一 Q 一、 zQw 一 Qu 一 Qu 一、VxV u = ( e + e + e ) x ( e + e + e )Qx x Qy y Qz z
10、 Qx x Qy y Qz z/ Q2U Q2U、一 / Q2U Q2U、一 / Q2U Q2U 、=()e + ()e + ()eQyQz QzQy x QzQx QxQz y QxQy QyQx z1.20)面给出该性质的2.1)由于标量函数 u 在其整个分布空间通常具有连续的二阶混合偏导数，根据高等数学的知 识，可知：Q 2uQ2U=0QyQzQzQyQ2u Q2uQzQxQxQzQ 2uQ 2uQxQyQyQx2.2)故有VxV u = o，即梯度的旋度恒等于o。对于静电场，根据对其的旋度运算发现电场强度沿闭合路径积分恒等于0，根据斯托克 斯定理，可知静电场的场强的旋度恒等于o。即Vx
11、 E = 0。根据“梯度的旋度恒等于o”可知，电场强度可定义为某一标量函数的梯度，实际应 用中，我们常定义E = gradu，并称u为静电场的势函数，负号是说场强的方向总沿电势 降低最快的方向。这正是我们高中物理中学习电场和电势的关系时得到的结论。三、麦克斯韦第四方程的重新推导1、电流连续性方程设闭合面s所围区域内的体电荷密度为p，且离开曲面的电流可用体电流密度J来描述, 则经闭合面s流出的总电流为i(t)=巾 JDds(3.1)由于电流是单位时间的电荷流量，所以向外流出的电荷量必须与s包围区域内减少的电荷量相等，因此我们可以把电流写成i(t)dQdt3.2)式中，Q为时刻t曲面内包含的电荷量
12、，用体电荷密度表示为3.3)Q = J p dvv其中积分区域为s面所包围的空间。结合式（3.1）、（3.2）、（3.4）,可得3.4)tJ J Eds = - J p dv dt v上式就是电流连续性方程的积分形式，考虑到体积是静止的，因此对时间的微分可写成色dt偏导，同时运用高斯定理，可得3.5)式（3.5）就是电流连续性方程的微分形式。 电流连续性方程反映了电荷守恒定律：电荷既不能创造，也不能毁灭，只能转移。2、 时变情况下的矛盾位移电流的引出 想象一个电容器和一个时变电压源相连，根据电路分析的知识，在电路中必有时变电流i（t），这电流必然在此区域内产生时变电场。这样，如果选一个由闭合路
13、径c所包围的开放3.6)面s,由安培定律可得 E H Jdl = ic式中， H 是时变磁场强度。但若c通过电容器的介质区域，此时通过此面的传导电流为0换言之，式（3.6）右边 将写成0,这与安培定律相矛盾，如果令i（t） = 0来消除这一矛盾，那么就不能正确判断电路中的电流或由它所产生的磁场的存在和大小。 上述矛盾导致麦克斯韦断言，电容器的介质区域必有电流存在。由于这电流不能由传导 产生，麦克斯韦将其称为位移电流。为了考虑位移电流，麦克斯韦在安培定律中加入一项 以保证它对时变情况也是正确的。由高斯定律的微分形式，有VED = p（3.7）将上式代入（3.5）中，得一 d d DVJ =- （VED） = Vy）（3.8）dtdt或写成 VE（ J）= 0_ d D_d D_此方程说明（J +）是连续场。当用（J +）来代替式（3.1）中的J，并与式（3.6）dtdt结合，可得Vx H =了 +辺dt
