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1、 思维特训(十一)相似在四边形中的应用方法点津 对于相似与四边形相结合的综合性问题，解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的背景下辨认、分解基本图形，合理运用方程等数学思想解决问题典题精练 类型一利用相似解决四边形中线段的关系问题1如图11Y1，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OEOB，连接DE.(1)求证：DEBE；(2)如果OECD，求证：BDCECDDE.图11Y12如图11Y2，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.求证：(1)AGCG；(2)AG2GE
2、GF.图11Y23如图11Y3，在四边形ABCD中，CA平分BCD，ACAB，E是BC的中点，ADAE.(1)求证：AC 2CDBC.(2)过点E作EGAB，并延长EG至点K，使EKEB.若H是点D关于AC的对称点，F为AC的中点，求证：FHGH；若B30，求证：四边形AKEC是菱形图11Y34如图11Y4，已知正方形ABCD的边长为1，P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足PBCPAM，延长BP交AD于点N，连接CM.(1)如图，若点M在线段AB上，求证：APBN，AMAN；(2)如图，在点P运动过程中，当满足PBCPAM的点M在AB的延长线上时，APBN和AMAN是否仍然成立？并说明理
3、由图11Y4类型二利用相似解决四边形中的函数关系问题在图形的运动过程中，由比例线段产生的函数关系问题，通常是由平行线分线段成比例定理或相似三角形的对应边成比例得出函数关系解题的一般步骤是先说理产生比例关系，再整理、变形，根据要求写出自变量的取值范围5如图11Y5所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M，N两点，设AC2，BD1，APx，AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()图11Y5图11Y66如图11Y7，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为M，连接QP.已知AD13，AB
4、5，设APx，QBy，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围图11Y77如图11Y8，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(5，2)，P是CB边上一动点(不与点C，B重合)，连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交BC边于点M，且AOPCOM，令CPx，MPy.(1)当x为何值时，OPAP?(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围(3)在点P的运动过程中，是否存在x，使OCM的面积与ABP的面积之和等于EMP的面积？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由图11Y88如图11Y9，正方形ABCD的边长为4，M，N分
5、别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN始终垂直(1)求证：ABMMCN.(2)设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数解析式；当点M运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大？并求出最大面积(3)当点M运动到什么位置时，ABMAMN？并求此时x的值图11Y9详解详析1证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，OBOD.OEOB，OEOD，OBEOEB，OEDODE.OBEOEBOEDODE180，OEBOEDBED90，DEBE.(2)OECD，OEBDCECDEDCE90，OEBCDE.OBOE，DBEOEB，DBECDE.又BEDDEC，BDEDCE，B
6、DCECDDE.2证明：(1)四边形ABCD是菱形，ABCD，ADCD，ADBCDB，FFCD.在ADG与CDG中，ADGCDG，AGCG.(2)ADGCDG，DAGDCG.FDCG，DAGF.又AGEFGA，AEGFAG，AG2GEGF.3证明：(1)CA平分BCD，DCAACB.又ACAB，ADAE，DACCAE90，CAEEAB90，DACEAB.又E是BC的中点，AEBE，EABABC，DACABC，ACDBCA，AC2CDBC.(2)如图，连接AH.由(1)得ACDBCA，ADCBAC90.点H，D关于AC对称，AHBC.EGAB，AEBE，G是AB的中点，HGAG，GAHGHA.F
7、为AC的中点，AFFH，HAFFHA，FHGFHAGHAHAFGAHCAB90，FHGH.EKAB，ACAB，EKAC.又B30，ACBCEBEC.又EKEB，EKAC，四边形AKEC是平行四边形又ECAC，四边形AKEC是菱形4解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，DABABCBCDD90.PAMPBC，PAMPBC，.PBCPBA90，PAMPBA90，APB90，APBN.ABPABN，APBBAN90，BAPBNA，即，.ABBC，AMAN.(2)APBN和AMAN仍然成立理由：四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，DABABCBCDCDA90.PAMPBC，P
8、AMPBC，.PBCPBA90，PAMPBA90，APB90，APBN.ABPABN，APBBAN90，BAPBNA，即，.ABBC，AMAN.5C解析 (1)当0x1时，如图.在菱形ABCD中，AC2，BD1，则AO1，且ACBD.MNAC，MNBD，AMNABD，即，MNx，yAPMNx2(0x1)0，函数图象开口向上(2)当1x2时，如图，同理证得CDBCNM，即，MN2x，yAPMNx(2x)x2x.0，函数图象开口向下综上，选项C的图象大致符合6解：四边形ABCD是矩形，ADBC，APBPBQ.在RtABP中，BP.QM是线段BP的垂直平分线，MB.APBPBQ，ABMQ90，ABP
9、MQB，即，化简，得y(25x2)当点Q与点C重合时，BQPQ13.在RtPQD中，由勾股定理，得PQ2PD2DQ2，即132(13x)252，解得x1(x25舍去)又APAD13，x的取值范围是1x13.y关于x的函数解析式为y(25x2)，x的取值范围为1x13.7解：(1)由题意，知OABC5，ABOC2，BOCM90，BCOA.OPAP，OPCAPBAPBPAB90，OPCPAB，OPCPAB，即，解得x14，x21(不合题意，舍去)当x4时，OPAP.(2)BCOA，CPOAOP.AOPCOM，COMCPO.又OCMPCO，OCMPCO，即，yx，x的取值范围是2x5.(3)假设存在
10、符合题意的x，如图，过点E作EDOA于点D，交MP于点F，则DFAB2.OCM与ABP的面积之和等于EMP的面积，SEOAS矩形OABC25OAEDED，ED4，EF2.PMOA，EMPEOA，即，解得y，由yx，得x，解得x1，x2(不合题意，舍去)在点P的运动过程中，当x时，OCM的面积与ABP的面积之和等于EMP的面积8解：(1)证明：在正方形ABCD中，ABBCCD4，BC90.AMMN，AMN90，CMNAMB90.在RtABM中，MABAMB90，CMNMAB，ABMMCN.(2)ABMMCN，CN，yS梯形ABCN4x22x8(x2)210(0x4)，当x2时，y取得最大值，最大值为10.即当点M运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10.(3)BAMN90，要使ABMAMN，必须有，即.由(1)知，BMMC，当点M运动到BC的中点时，ABMAMN，此时x2.
