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1、第8章 常微分方程边值问题的数值解法8 引 言第7章简介了求解常微分方程初值问题的常用的数值措施;本章将简介常微分方程的边值问题的数值措施。只含边界条件(bouaryalu cndtn)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(bounaryvalue poblem).为简要起见，我们以二阶边值问题为例简介常用的数值措施。一般的二阶常微分方程边值问题(boundary-vlue prems forseond-orornary diffentialequaons)为, (8.1.1)其边界条件为下列三种状况之一:() 第一类边界条件 （th frst-ype oudr nitio
2、ns):(2) 第二类边界条件 (hescondye bundary ondii)：(3)第三类边界条件 (te thirdtype budry cndions): 定理8.1设（811)中的函数及其偏导数, 在上持续.若()对所有,有；(2) 存在常数,对所有，有,则边值问题(.1.1）有唯一解。推论 若线性边值问题 (8.1)满足() 和在上持续;() 在上, ,则边值问题（8.11)有唯一解。求边值问题的近似解，有三类基本措施:(1) 差分法（iferee method）,也就是用差商替代微分方程及边界条件中的导数,最后化为代数方程求解;(2) 有限元法(ite eleent mtho)
3、;(）把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的措施求解。8.2差分法8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为其中在上持续,且用差分法解微分方程边值问题的过程是:(i） 把求解区间提成若干个等距或不等距的社区间,称之为单元；(i) 构造逼近微分方程边值问题的差分格式. 构造差分格式的措施有差分法, 积分插值法及变分插值法；本节采用差分法构造差分格式；(ii) 讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方程.目前来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题(8.1),(8.2.2)的差分方程( i ) 把区间等分，即得到区间的一种网格剖
4、分:,其中分点，并称之为网格节点(grdnode)；步长.( ii） 将二阶常微分方程(8.2)在节点处离散化:在内部节点处用数值微分公式 （8.3)替代方程(8.2.2）中,得， （8.2.4)其中当充足小时,略去式(.2.4)中的，便得到方程(8.2.）的近似方程, (8.2.5)其中, 分别是的近似值， 称式(.25）为差分方程(difence quaion)，而称为差分方程(8.2.5)逼近方程(8.）的截断误差(trncati eror). 边界条件(.7.2)写成 （2.6）于是方程（.2.5）， （8.6)合在一起就是有关个未知量,以及个方程式的线性方程组： (8.27)这个方程
5、组就称为逼近边值问题(8.1), (8.2.2)的差分方程组(systmofifeence eqatins)或差分格式(diferneshme)，写成矩阵形式 (8.)用第2章简介的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.7)或(82.）， 其解称为边值问题（82.1),(.22)的差分解(iffree olutio) 由于（8.2.5)是用二阶中心差商替代方程(8.2.1)中的二阶微商得到的，因此也称式(8.27)为中心差分格式（entred-diffeenscem).( ii ） 讨论差分方程组（82.7)或（828)的解与否收敛到边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解，估计误差.
6、对于差分方程组(82.7)，我们自然关怀它与否有唯一解;此外,当网格无限加密，或当时,差分解与否收敛到微分方程的解. 为此简介下列极值原理:定理8.1(极值原理) 设是给定的一组不全相等的数,设 (8.2.9)(1) 若, 则中非负的最大值只能是或;(2) 若,则中非正的最小值只能是或.证 只证(1) 的情形，而(2) 的情形可类似证明. 用反证法. 记，假设, 且在中达到. 由于不全相等，因此总可以找到某个,使,而和中至少有一种是不不小于的.此时由于,因此, 这与假设矛盾,故只能是或.证毕!推论 差分方程组(8.2.7)或(828）的解存在且唯一.证明只要证明齐次方程组 （.2.10)只有零
7、解就可以了. 由定理87.1知,上述齐次方程组的解的非负的最大值和非正的最小值只能是或 而，于是 证毕！运用定理82.1还可以证明差分解的收敛性及误差估计. 这里只给出成果:定理8 设是差分方程组(2.7)的解,而是边值问题（821)， (8.2.）的解在上的值,其中. 则有 （8.2.1）其中.显然当时， 这表白当时,差分方程组(.2.7)或(8.8)的解收敛到原边值问题（8.7.), (8.72）的解例.2.1 取步长,用差分法解边值问题并将成果与精确解进行比较.解 由于, 由式（8.2)得差分格式, 其成果列于表81.表8.21精确值00010.0 03223-00366.20 0649
8、16300600430.3-0. 093169.093640-0 1160831.14850.50.165-0.31796.60 13528-0.37850.7-0.138863011078.80. 184730105590.9-0. 066114-.0665651010从表82.1可以看出, 差分措施的计算成果的精度还是比较高的. 若要得到更精确的数值解，可用缩小步长的措施来实现.8. 一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法对一般的二阶微分方程边值问题 (8.2.12)假定其解存在唯一 为求解的近似值，类似于前面的做法，( ) 把区间等分，即得到区间的一种网格剖分:,其中分点,步长.( i
9、) 对式（8.2.1)中的二阶导数仍用数值微分公式替代,而对一阶导数,为了保证略去的逼近误差为,则用点数值微分公式；此外为了保证内插，在个端点所用的3点数值微分公式与内网格点所用的公式不同，即 (8.2.）略去误差，并用的近似值替代，,便得到差分方程组 (8.1)其中， 是的近似值 整顿得 （8.2.1)解差分方程组（8.25），便得边值问题(8.2.12)的差分解.特别地，若，则式（.212)中的边界条件是第一类边值条件：此时方程组(7.6)为 (8.1)方程组(8.2.1)是三对角方程组,用第章简介的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组（2.1)，便得边值问题(82.12)的差分解.( i
10、 )讨论差分方程组（8.)的解与否收敛到微分方程的解，估计误差. 这里就不再具体简介.例8.2.2 取步长,用差分法求下列边值问题的近似解,并将成果与精确解进行比较.精确解是.解 由于，, 由式（.2.17)得差分格式 , , 其成果列于表8.2.2表.2精确值00-0-0310.31796-.31344622/6-0.1549-0.35432233/16-05049-0.30499744/10.2862-028284275/10.297999-0.4981806/1-0.207146-07197/16.156577-0.1660682-0100000.1000008.3 有限元法有限元法（f
11、inite eement mehod)是求解微分方程定解问题的有效措施之一，它特别合用在几何、物理上比较复杂的问题 有限元法一方面成功地应用于构造力学和固体力学，后来又应用于流体力学、物理学和其她工程科学. 为简要起见，本节以线性两点边值问题为例简介有限元法考虑线性两点边值问题其中, 此微分方程描述了长度为的可变交叉截面(表达为)的横梁在应力和下的偏差.8.3.1 等价性定理 记,引进积分 （83）任取,就有一种积分值与之相应，因此是一种泛函（fucional）,即函数的函数. 由于这里是的二次函数,因此称为二次泛函.对泛函(8.3)有如下变分问题(vaition probe):求函数，使得对
12、任意， 均有, （.3.4)即在处达到极小, 并称为变分问题(8.4)的解可以证明：定理8.31(等价性定理) 是边值问题(8.31), (8.32)的解的充足必要条件是使泛函在上达到极小，即是变分问题(8.3.)在上的解.证 (充足性) 设是变分问题的解;虽然泛函在上达到极小，证明必是边值问题(831）, (.3)的解.设是任意一种满足的函数,则函数，其中为参数. 由于使得达到极小，因此,即积分作为的函数，在处取极小值，故 (8.5）计算上式，得运用分部积分法计算积分代入式（.3),得由于是任意函数,因此必有 （8)否则,若在上某点处有,不妨设，则由函数的持续性知,在涉及的某一区间上有作显然，且,但,这与式(8.3.）矛盾. 于是式(.3.8）成立，即变分问题(8.3.4）的解满足微分方程(83.1）,且故它是边值问题(8.3.1）, (8.3.2)的解(必要性）设是边值问题（8.1），（8.2)的解,证明是变分问题(83.4）的解;即:使泛函在上达到极小.由于满足方程（8.3.1),因此. 设任意,则函数满足条件，且 于是由于,因此当时,，即.只有当时，. 这阐明使泛函在上
