一元一次不等式的解法（提高）知识讲解 【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2.能够熟练解一元一次不等式；3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，23x >50是一个一元一次不等式．要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为 1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为 ax >b （或 ax 0（2）1x>-1（3）x 2 >2（4）x +y >-3（5）x =-1【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．【答案与解析】解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含 有字母，（3）未知数的最高次数不是 1 次，（4）不等式左边含有两个未知数，（5）不是不等 式，是一元一次方程．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知 数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是 1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式2.求不等式 ﹣ ≤的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来．【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简，使得分子、分母上的小数化成整数，然后 根据不等式的性质 2 去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数． 【答案与解析】解：原不等式可化为： ﹣ ≤去分母，得 6（4x﹣10）﹣15（5﹣x）≤10（3﹣2x） 去括号，得 24x﹣60﹣75+15x≤30﹣20x 移项，得 24x+15x+20x≤30+60+75合并同类项，得 59x≤165把系数化为 1，得 x≤ ，解集 x≤的非负整数解是：0，1，2，数轴表示是：【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据 不等式的基本性质．举一反三：【变式 1】解不等式： 【答案】3 2 x[ (2 3 4-1) -2] -x <2解：去括号，得x4-1 -3 -x <2移项、合并同类项得： x >-8系数化 1，得-34x <6故原不等式的解集是x >-8.【变式 2】代数式的值不大于的值，求 x 的范围．【答案】解：根据题意得：解不等式 ≤ ，去分母得：6﹣3（3x﹣1）≤2（1﹣2x）， 去括号得：6﹣9x+3≤2﹣4x，移项得：4x﹣9x≤2﹣6﹣3，合并同类项得：﹣5x≤﹣7，解得：x≥ ．3.m 为何值时，关于 x 的方程：x 6m -1 5m -1 - =x -6 3 2的解大于 1？【思路点拨】从概念出发，解出方程（用 m 表示 x），然后解不等式． 【答案与解析】解： x-12m+2=6x-15m+35x=3m-1x =3m -15由3m -15>1解得 m＞2【总结升华】此题亦可用 x 表示 m，然后根据 x 的范围运用不等式基本性质推导出 m 的范围． 举一反三：【变式】已知关于 x 方程 x -2x -m 2 -x =3 3的解是非负数， m 是正整数，则 m =．【答案】1 或 2.4.（ 杭州模拟）若关于 x，y 的二元一次方程组3.5，求出满足条件的 m 的所有正整数解．【思路点拨】先解出方程组再解不等式．【答案与解析】的解满足 x﹣y＞﹣解：由方程组的两个方程相减得：x﹣y=﹣0.5m﹣2∴﹣0.5m﹣2＞﹣3.5，∴m＜3，∴满足条件的 m 的所有正整数解为 m=1，m=2．【总结升华】 本题考查了巧解二元一次方程组，有时根据具体问题，可以不必解出 x, y 的 具体值．能得出关于 m 的不等式是解此题的关键．类型二、不等式的解及解集5.若关于 x 的不等式 x £a 只有三个正整数解，求 a 的取值范围.【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定 a 的范围．【答案】【解析】3 £a <4.解：∵不等式x £a只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1，2，3，∴3 £a <4，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数 解．举一反三：【变式】已知x n的 解 集 为x <35， 则 关 于 x 的 不 等 式(2m -n)x +m -5n >0的解集 ．【思路点拨】先根据第一个不等式确定m, n的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解．【答案】x <107.【解析】解：由 mx >n的解集为x <3 n 3 3 可知得： m <0 ， = ，即 n = m 5 m 5 5将上式代入(2m -n)x +m -5n >0，化简整理得： 10x <所以.775mx >2m，又m <0【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定 m <0 ．一元一次不等式的解法（提高）巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．已知关于 x 的不等式( m -1)x| m|³0是一元一次不等式，那么 m 的值是( ) .A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝-1 D．不能确定2．由 m >n 得到 ma 2 >na 2 ，则 a 应该满足的条件是（ ）.A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a 为任意实数3．已知y =2 x -5 ， y =-2x +3 ，如果 y -5的解集中的一个值，则a的范围为________.11．若关于 x 的不等式3 x -a £0只有六个正整数解，则 a 应满足________.12.已知 x >a 的解集中的最小整数为 -2 ，则 a 的取值范围是 . 三、解答题13．若 m、n 为有理数，解关于 x 的不等式(－m2－1)x＞n．14.当 x 为何值时，代数式- x+3 的值比 6x-3 的值大．15.当2( k -3) <10 -k k ( x -5)时，求关于 x 的不等式 >x -k 的解集． 3 416.已知 A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较 A 与 B 的大小．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C。