第四讲 二次函数系数之间的关系目录必备知识点 1考点一 二次函数各系数之间的关系 1知识导航必备知识点知识点1 二次函数图像和系数的关系1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．2.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）3.常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．4.抛物线与x轴交点个数．（1）△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点（2）△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点（3）△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点考点一 二次函数各系数之间的关系1．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵图象与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴①说法错误，∵﹣＝1，∴2a＝﹣b，∴2a+b＝0，∴②说法错误，由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），∵当x＝﹣1时，y＜0，∴当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∴③说法错误，∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴④说法正确；当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∴⑤说法正确，∴正确的为④⑤，故选：B．2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∵对称轴为x＝1，∴＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由＝1可知：b＝﹣2a，∵抛物线过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＝0，故②符合题意．③由图象可知：x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故③符合题意．④由图象可知：x＝1时，y的最大值为a+b+c，∴当x＝m时（m≠1），∴am2+bm+c＜a+b+c，∴a+b＞m（am+b），故④符合题意．故选：C．3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中，正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①、由图象可知：＝1＞0，a＜0，c＞0，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②、由①知：b＝﹣2a，由图象可知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，∴2c﹣3b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，即2c＜3b，故②符合题意．③由图象可知：当x＝1时，y的最大值为a+b+c，∴当x＝m（≠1）时，am2+bm+c＜a+b+c，∴m（am+b）＜a+b，∵a+b﹣a﹣2b＝﹣b＜0，∴a+b＜a+2b，∴a+2b＞m（am+b），故③符合题意．④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x1，x2，x3，x4，其中x1，x2是方程ax2+bx+c＝1的两个根，x3，x4是方程ax2+bx+c＝﹣1的两个根，则x1+x2＝2，x3+x4＝2，即这四个根的和为4，故④不符合题意．故选：B．4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，已知其对称轴为x＝1，则下列结论正确的是（ ）A．abc＜0 B．2a﹣b＝0 C．5a+3b+2c＜0 D．4ac﹣b2＞0【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在x轴正半轴，∴﹣＞0，∴a、b异号，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故选项A错误；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a．∴2a+b＝0，故选项B错误；由题图可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝2时，与x＝0时抛物线上的两个点关于对称轴对称．即（2，4a+2b+c）与（0，c）关于对称轴对称．∴4a+2b+c＝c．∵c＜0，∴4a+2b+c＜0．∴（a+b+c）+（4a+2b+c）＜0，即5a+3b+2c＜0．故选项C正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0．∴4ac﹣b2＜0故选项D错误．故选：C．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由图象可得，该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），∴该抛物线的对称轴是直线x＝＝2，∴﹣＝2，∴b+4a＝0，故②正确；由图象可得，当y＞0时，x＜﹣2或x＞6，故③错误；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；故选：B．6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（，1），有下列结论：①ac＜0；②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线开口向下，顶点为（，1），∴函数最大值为y＝1，②正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误．∵﹣＝，∴b＝﹣a，∴a+b＝0，④错误．故选：B．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，根据图象判断，下列结论中正确的是（ ）A．abc＜0 B．b2﹣4a＞4ac C．a+b+c＞0 D．2a+b＜0【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，即b＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，选项A错误．∵抛物线顶点纵坐标小于﹣1，∴＜﹣1，∴b2﹣4ac＞4a，∴b2﹣4a＞4ac，选项B正确．由图象可得x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴选项C错误．∵0＜﹣＜1，a＞0，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，选项D错误．故选：B．8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列列结论：①a﹣b+c＜0 ②2a+b＞0 ③b＞a＞c④3|a|+|c|＜2|b|．其中，正确结论的结论是（ ）A．①②③ B．①③ C．②④ D．①②④【解答】解：由图象可得x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，①正确．∵抛物线开口向下，∴a＜0，由抛物线对称轴的位置可得﹣＞1，∴b＞﹣2a＞0，即2a+b＞0，②正确．设抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），则x1x2＝，由图象不能判断x1x2与1的大小关系，∴a与c的大小关系不能确定，③错误．∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，2a+b＞0，∴3a+2b+c＞0，∴3a+c＞﹣2b，﹣3a﹣c＜2b，∵a＜0，b＞0，c＜0，∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b，④正确．故选：D．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a＜﹣；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．其中正确的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：由图可知，开口向下，对称轴为直线x＝1，图象与y轴的交点在y轴正半轴上，∴a＜0，b＞0，1＜c＜2，且﹣＝1，∴abc＜0，故①错误，不符合题意；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②错误，不符合题意；∵b＝﹣2a，﹣2＜﹣c＜﹣1，由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a＜﹣c＜﹣1，∴a＜﹣，故③正确，符合题意；由图象可知，当x＝1时，函数有最大值，∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故④正确，符合题意；∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴﹣2a+2b﹣2c＞0，∵b＝﹣2a，∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＞0，∴2c＜3b，故⑤正确，符合题意；∴正确的结论有3个，故选：B．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A．abc＜0 B．a+b＞m（am+b）（m≠1） C．4a﹣2b+c＜0 D．3a+c＝1【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，选项A正确；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y有最大值为a+b+c，∴am2+bm+c＜a+b+c，∴am2+bm＜a+b，∴a+b＞m（am+b）（m≠1），故选项B正确；由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故选项C正确；由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴另一交点的等坐标大于2小于3，∴当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＜0，故选项D错误．故选：D．11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②a+b＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结论的个数有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，∵抛物线和y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确；当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴a+b＜﹣c，故②正确；由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，∴a＝b，∴b+b+c＜0，∴3b+2c＜0，故④正确；∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．故选：C．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0。
