§9.2二重积分的计算9.2．1直角坐标系中二重积分的计算 下面用几何观点来讨论二重积分的计算问题 当时，的值等于以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积而平行截面面积为已知的立体的体积又可以用定积分来计算这就启示我们可以用二重积分的几何意义来寻求二重积分的计算方法1．积分区域D为X型区域 设D： ① 其中， 如图所示的积分区域称为X型区域 下面用切片法来计算二重积分所表示的柱体的体积 过上一点，作与平面平行的平面，此平面与曲顶柱体相交所得的截面是一个以区间[]为底，曲线为曲边的曲边梯形，其截面面积为 一般地，过区间[a，b]上任一点x且平行于平面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为 注意上式中y为积分变量，而x在积分时保持不变[a，b]，都有截面积A(x)与之对应，可以证明A(x)为x的连续函数因此，[][a，b]，由微元法可知曲顶柱体的体积元素为 ，从而得曲顶柱体的体积 ， 故 ② 上式右端的积分叫做先对后对的二次积分，就是先把看作常数，把只看作的函数，并对计算从到的定积分；然后把算得的结果（是的函数）再对计算在区间上的定积分。
公式②常记作 ③这就是把二重积分化为先对后对的二次积分的公式记忆口诀：“先积一条线，再扫一个面” 应用公式③时，必须是X型区域X型区域的特点是：穿过内部且平行于轴的直线与的边界相交不多于两点2．积分区域D为Y型区域 设D： ④ 其中、 如图所示的积分区域称为Y型区域 类似可得，二重积分 ⑤上式右端的积分称为先对、后对的二次积分公式 用公式⑤时，必须是Y型区域Y型区域的特点是：穿过内部且平行于轴的直线与的边界相交不多于两点3．积分区域既不是X型区域也不是Y型区域 当平行于坐标轴的直线与的边界曲线的交点多于两点时，一般可把分成几个子区域，分别按X型或Y型区域计算，然后再根据区域可加性得到在整个区域上的二重积分例如在图中，把分成三部分，它们都是X型区域4．积分区域D既是X型区域又是Y型区域 D是X型的，可表示为：； D又是Y型的，可表示为：，则有 二重积分化为二次积分时，确定积分限是关键其定限方法如下：（1）在平面上画出积分区域的图形；（2）若区域X型的，则投影到上，得投影区间，就是积分的下限和上限 过画一条与平行的直线，假如它与边界曲线交点的纵坐标分别为和，且，则和就是积分的下限和上限。
为了准确起见，建议同学们解题时必须画出草图，算出并在图上标出交点，必须搞清哪条线在哪条线的上方，哪个点在哪个点的左方 定限原则：（1）上限一定要大于下限， （2）最外层的限不允许有积分变量 讨论二重积分时，有三种类型的题目：置限、换序和计算例1．计算，其中是由直线，及所围成的闭区域解法1：是X型的，：， 解法2：是型的 注：①化二重积分为二次积分时，积分限的确定顺序 与积分顺序相反 ②在计算内积分时，外积分变量是常数B(1，-1)A(4，2)2例2．计算，其中由和所围成解：既是X型区域，又是Y型区域方法1）先积后积： 方法2）先积后积，， ：，：1，1）1例3．，其中是由直线，和轴所围成解：若先积后积，得，因为的原函数不是初等函数，则无法计算积分的值，故只能用先积后积的次序进行计算积分次序的选择原则：（1） 第一原则—函数原则：必须保证各层积分的原函数能够求出2） 第二原则—区域原则：若积分区域是型（或）则先对3） 第三原则—分块原则：若积分区域既是型又是且满足第一原则时， 要使积分分块最少例4．交换二次积分的积分次序。
1）-224 交换二次积分次序的关键是正确画出积分区域的图形，要经历 “由限画图”和“由图定限”两个过程解：先积再积， 则D：， 先积再积，则， ：，：， 1（2） 解：先积后积，则， ：，：， 先积后积， D：，∴例5．设是平面上以，和为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分，若，试问下列等式是否成立？（1）； （2）；（3）解：将区域分为四个子区域：、、、显然与关于轴对称，与关于轴对称，将分为两个二重积分，记 ， ∵关于和关于都是奇函数， ∴，，∴ ∵是关于的奇函数，关于的偶函数， ∴，， ∴， 从而，故等式（1）、（3）不成立；等式（2）成立 5．利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化重积分的计算： 设在有界闭区域上的可积，，（1）若关于对称，则 （2）若关于对称，则 （3）若关于原点对称，则（4）若积分区域直线对称时，即， 则 又若，且关于直线对称，则 6．求，其中解：抛物线把分为两个子区域： ， 被积函数在上是关于的偶函数，积分区域关于轴对称， 、也关于轴对称，故 。
例7．求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解：设这两个直交圆柱面的方程为及并画出它们在 第一卦限内的图形D 所求立体在第一卦限的部分可看作是以圆柱面为顶，以面上四分之一的圆域为底的曲顶柱体，其体积为， 故所求体积为。