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1、一、 尺规作图1. 作一个角等于已知角的方法已知:AOB,求作:AOB=AOB.OABCDOABCD作法:1.以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;2.画一条射线OA,以点O为圆心,OC长为半径画弧,交OA于点C;3.以点C为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧交于点D;4.过点D画射线OB,则AOB=AOB.2. 先任意画出一个ABC.再画一个ABC,使A B=AB , BC=BC,CA =CA.作法:画一个ABC ,使AB=AB, AC=AC,BC=BC :(1)画BC=BC;(2)分别以点B,C为圆心,线段AB,AC长为半径 画弧,两弧相交于点A; (3)连接
2、线段AB,AC.二、 角的平分线导入:小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼,刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点,要从P 点建成两条管道,分别与暖气管道和天然气管道相连.问题1:怎样修建管道最短?问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系,画来看一看.角的平分线的画法图12.3-1是一个平分角的仪器,其中AB= AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD 着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就 是这个角的平分线,你能说明它的道理吗?作已知角的平分线的方法.已知:AOB.求作:AOB的平分线.作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N. (2)分
3、别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧在AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求(如图).理论根据:作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法:“SSS”拓展:根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线注意: “大于 MN的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时,画出的两弧不能相交如图所示,已知AOB,求作:AOM AOB.角的平分线的性质 如图12.3-3,任意作一个角AOB,作出 AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,点P 画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量 PD,PE并作比较,你得到什么结论?在OC上再取 几个点试一试. 通
4、过以上测量,你发现了角的平分线的什么性质? 1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等 要点精析: (1)点一定要在角平分线上; (2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度; (3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等2.书写格式:如图,OP平分AOB, PD OA于点D,PEOB于 点E, PDPE. 例1、如图, AOC=BOC,点 P 在OC 上,PDOA,PEQB,垂足分别为D,E.求证PD=PE.证明:PDOA, PEOB, PDO=PEO=90. 在PDO和PEO中, PDO=PEO, AOC=BOC, OP=OP, PDO PEO(AAS). PD=PE.例1】如图,在
5、ABC中,C90,AD平分CAB,DEAB于E,F在AC上,BEFC, 求证:BDDF. 导引:要证BDDF,可考虑证两线段所在的 BDE和FDC全等,两个三角形中已有一角和一边相等,只要再证DECD即可,这可由AD平分CAB及垂直条件证得1、如图,在直线MN上求作一点P,使点P到射线OA 和OB 的距离相等.2、如图,在ABC中,C90,ACBC,AD 平分CAB交BC于D,DEAB于E,若AB 6 cm,则DBE的周长是() A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm3、如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高线, BE平分ABC,交CD于点E,BC50,DE14,则BCE的面积等于_
6、总结:角的平分线图形结构中的“两种数量关系”:如图,OC平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,DE交OC于点F. (1)角的相等关系:AOCBOCPDFPEF;ODPOEPDFOEFODFPEFP 90;DPOEPOODFOEF. (2)线段的相等关系:ODOE,DPEP,DFEF.三、 角平分线的判定 角平分线的性质为:角的平分线上的点到角的两边距离相等.交换上述已知和结论,你能得到什么结论,这个新结论正确吗?判定方法:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上书写格式:如图,PDOA,PEOB,PDPE, 点P在AOB的平分线上(或AOCBOC)【例1】 如图,BECF,DFAC于点
7、F,DEAB于点E,BF和CE相交于点D. 求证:AD平分BAC.导引:要证AD平分BAC,已知条件中有两个垂直,即有点到角的两边的距离,再证这两个距离相等即 可证明结论,证这两条垂线段相等,可通过证明BDE和CDF全等来完成证明角平分线的“两种方法”(1)定义法:应用角平分线的定义.(2)定理法:应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”.1、在正方形网格中,AOB的位置如图所示,到AOB 两边距离相等的点应是() A点M B点N C点P D点Q2、 如图,在四边形ABCD中,ABCD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得SP
8、AB SPCD,则满足此条件的点P() A有且只有1个 B有且只有2个 C组成E的平分线 D组成E的平分线所在的直线(E点除外)三角形的角平分线如图,ABC的角平分线BM, CN相交于点P.求证:点P到三边AB,BC, CA的距离相等. 三角形得角平分线的交点到三边的距离相等,这个交点叫作三角形的内心.1 到ABC的三条边距离相等的点是ABC的() A三条中线的交点 B三条角平分线的交点 C三条高的交点 D以上均不对2 如图,ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则 SABOSBCOSCAO_.3 如图,ABC的ABC的外角的平分线BD与 ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证:点P到 三边AB,BC,CA所在直线的距离相等.角的平分线的性质与判定定理的关系:性质判定定理(1)都与距离有关,即垂直的条件都应具备(2) 点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等 (3)性质反映只要是角的平分线上的点,到角两边的距离就一定相等;判定定理反映只要是到角两边距离相等的点,都应在角的平分线上 (注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)