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1、第八章组合变形构件的强度8.1概述到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸（或压缩卜剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8-1a中悬臂吊车的横梁AB,当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC的斜向力作用，而且还有压缩（图8lb）。又如图82a所示的齿轮轴，若将啮合力P向齿轮中心平移、则可简化成如图8-2b所示的情况。载荷P使轴产生弯曲变形；矩为mC和mD的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况
2、，就称为组合变形。图S-2由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：（1）将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；（2）分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；（3）将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。本章将讨论弯曲与拉伸（或压缩）的
3、组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。8.2弯曲与拉伸（或压缩）的组合在外力作用下，构件同日产生弯曲和拉伸（或压缩）变形的情况，称为弯曲与拉伸（或压缩）的组合变形。图8-1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸（或压缩）组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸（或压缩）的组合，这种情况通常称为偏心拉伸（或压缩）。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图83a中的开口链环和图84a中的厂房柱子，如果将其上的载荷P向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视
4、为两部分：一个轴向力P和一个矩为M0=Pe的力偶（图83b、8-4b）。轴向力P将使杆件产生轴向拉伸（或压缩）；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸（或压缩）实际上就是弯曲与拉伸（或压缩）的组合变形。返fb】La*(b)83图8-4现在讨论弯曲与拉伸（或压缩）组合变形构件的应力和强度计算。设一矩形截面杆，一端固定，一端自由（图85a）,作用于自由端的集中力P位于杆的纵对称面Oxy内，并与杆的轴线x成一夹角中。将外力P沿x轴和y轴方向分解，得到两个分力（图85b）:Px=Pcos：Py=Psin其中，分力Px为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横截面上白轴力N=Px。
5、因此，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力，其值为NCT=A正应力cr在横截面上均匀分布，如图85c所不。分力Py为垂直于杆轴线的横向外力，在此力的单独作用下，杆将在Oxy平面内发生平面弯曲，任一横截面的弯矩为M=Py（l-X）此时在横截面上任一点K的弯曲应力为沿截面高度方向的变化规律，如图8-5d所示。由此可见，这是一个弯曲与拉伸组合变形的杆件。设在外力作用下杆件的变形很小,这时可应用叠加原理，将拉伸正应力仃与弯曲正应力仃按代数值叠加后，得到横截面上的总应力为(8-1)设横截面上、下边缘处的最大弯曲应力大于（或小于）拉伸正应力，则总应力。沿截面高度方向的变化规律如图8-5e（或85f）所示。
6、由于在固定端处横截面上的弯矩最大，因此，该截面为危险截面。从图85e可知,构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。在下边缘处由于仃和仃均为拉应力，故总应力为两者之和，由此得最大拉应力为-t maxN M maAWZ在上边缘，由于a为拉应力，而仃为压应力，.故总应力为两者之差，由此得最大压应力max-cmaxAWZ(83 )上两式中的Mmax为危险截面处的弯矩；。Wz为抗弯截面系数。得到了危险点处的总应力后，即可根据材料的许用应力建立强度条件:(84 )NMmax.L_1-tmaxtAWz、-cmaxA% I(85 )式中口J和卜分别为材料拉伸和压缩时的许用应力。如铸铁和混凝土等， 需用以上
7、两式分 如低碳钢，则只需校核构件应力绝对一般情况下，对于抗拉与抗压能力不相等的材料,别校核构件的强度；对于抗拉与抗压能力相等的材料,值最大处的强度即可。对于偏心拉伸的杆件，上述公式仍然成立，只须将式中的最大弯矩Mmax改为因载荷偏心而产生的弯矩M=Pe即可。若外力P的轴向分力Px为压力或偏心压缩时，上述公式中的第一项N则应取负号。A还应指出，在上面的分析中，对于受横向力作用的杆件，横截面上除有正应力外，还有因剪力而产生的切应力，必要时还需考虑切应力的强度。例81悬臂吊车如图86a所示，横梁用25a号工字钢制成，梁长l=4m,斜杆与横梁的夹角0(=30；电葫芦重Q1=4kN,起重量Q2=20kN
8、,材料的许用应力h】=100MPa。试校核横梁的强度。解：(1)外力计算取横梁AB为研究对象，其受力图如图86b所示。梁上载荷为P=Q1+Q2=24KN,右端斜杆的拉力S可分解为XB、Yb两个分力。横梁在横向力P和Ya、Yb作用下产生弯曲；同时在XA和XB作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。此时，由平衡条件MA=0,YBlP2=02P得YB=P=12KN2而XB=2-=20.8KNtan300.577又由平衡条件yY=0和ZX=0,得:YA=12KNXA =20.8KN(2)内力和应力计算根据横梁的受力情形，和上面求得的数值，可
9、以绘出横梁的弯矩图如图所示。在梁中点截面上的弯矩最大，其值为8 6cPl 24000 4M max = 24000N *m44从型钢表上查得25a号工字钢的截面面积和抗弯截面系数分别为：_2_ /2A 48.5cm =48.5 10 mWz = 402cm2 =402 10 m3所以最大弯曲应力为(JB maxmaxWz24000-6402 1059.7 106Pa 60MPa其分布如图86e所示，梁危险截面的上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用横梁所受的轴向压力为N=Xb则危险截面上的压应力为208000.00485= 4.29 106 Pa 4.29MPa并均匀分布于横截面上，如
10、图86d所示。故梁中点横截面上、下边缘处的总正应力分别为(图86f):max-c maxWZ二 4.29 60 ： 64.3MPaNMt maxmax=-4.2960:55.7MPaAWz(3)强度校核曲于工字钢的抗拉与抗压能力相同，故只校核正应力绝对值最大处的强度即可，即c=64MPabIcmax由计算可知，此悬臂吊车的横梁是安全的、例-8-2图87a所示的钻床，钻孔时受到压力P=15kN。已知偏心矩e=40cm,铸铁立柱，的许用拉应力btl=35MPa,许用压应力hc】=120MPa,试计算铸铁立柱所需的直径。图8 解：(1) 计算内力立柱在力P作用下产生偏心拉伸-,将立柱假想地截开，取上
11、段为研究对象(图8-7b),由平衡条件，不难求得立柱的轴力和弯矩分别为：N=P=15000NM=Pe=150000.4=6000N*m(2) 选择立柱直径由于铸铁的许用拉应力kt1小手许用压应力匕。因此，应根据最大拉应力tmax来进行强度计算。由公式(84),NPet max=+AWZ35 10615000600023二d二d432解此方程就能得到立柱的直径do但因这是一个三次方程，求解较繁。因此，在设计计算中常采用一种简便的方法。一般在偏心距较大的情况下，偏心拉伸(或压缩)杆件的弯曲正应力是主要的，所以可先按弯曲强度条件求出立柱的一个近似直径，然后将此直径的数值稍微增大，再代入偏心拉伸的强度
12、条件(式84)中进行校核，如数值相差较大，再作调整，如此逐步逼近，最后可求得满足此方程的直径。在此题中，先考虑弯曲强度条件M.1WZ6000二d 3 3235 10632由此解得立柱的近似直径d=0.12m将其稍加增大，现取d=0.12m,再代入偏心拉伸的强度条件校核，得15000tmax- 3.14 0.1252600061r=32.510=32.5MPa=35MPa3.140.125232满足强度条件，最后选用立柱直径d=0.125mo例83一带槽钢板受力如图88a所示，已知钢板宽度b=8cm,厚度6=1cm,边缘上半圆形槽的半径r=lcm,已知拉力P=80kN,钢板许用应力k】=140M
13、Pa。试对此钢板进行强度校核。解：由于钢板在截面I-I处有一半圆槽，因而外力P对此截面为偏心拉伸，其偏心距之值为bb-rr1e=0.5cm2222截面i-i处的轴力和弯矩分别为：N=P=80KN=80000NM=Pe=800000.005=400N*m轴力N和弯矩M在半圆槽底部的。点处都引起拉应力(图88b),此处即为危险点。由式(84)得最大拉应力为PPe800006400二t=-max(b-r)、(b-r)20.01(0.08-0.01)0.01(0.08-0.01)26=163.3106Pa=163.3MPa1一1图fl-8,计算结果表明，钢板在截面I-I处的强度不够。从上面的分析可知，
14、造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe,使截面I-I的应力显著增加。为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在槽的对称位置再开一槽（图88c）。这样就避免了偏心拉伸，而使钢板变为轴向拉伸了。此时截面I-I上的应力（图88d）为P800001=133.3MPa.=140MPa、（b-2r）0.01（0.08-20.01）由此可知，虽然钢板被两个槽所削弱，使横截面面积减少了，但由于避免了载荷的偏心，因而使截面I-I的实际应力比有一个槽时大为降低，保证了钢板的强度。但须注意，开槽时应使截面变化缓和些，以减小应力集中。8.2弯龈与扭转的组合机械中一般有扭转变形的构件，例如齿轮轴等，在扭转的同时，往往还有弯曲变形。当弯曲的影响不能忽略时，就应按弯曲与扭转的组合变形问题来计算。本节将讨论圆杆在弯曲与扭转组合变形时的强度计算。下面以一个典型的弯曲与扭转组合的圆杆来说明。设有一圆杆AB,一端固定，一端自由；在自由端B处安装有一圆轮，并于轮缘处作用一集中力P,如图8-9a所示，现在研究圆杆AB的强度。为此，将力P向B端面的形心平移，得到一横向力P和矩为02。PR的力偶，此时圆杆AB的受力情况可简化为如图89b所示，横向力和力偶分别
