《立体几何线线垂直专题(最全)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何线线垂直专题(最全)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何垂直总结1、线线垂直的判断: 线面垂直的定义:若始终线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断: (）如果始终线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。(2）如果两条平行线中的一条垂直于一种平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3)始终线垂直于两个平行平面中的一种平面,它也垂直于另一种平面。(4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。3、面面垂直的判断： 一种平面通过另一种平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用措施:AEDBC例1、(等腰三角形三线
2、合一)如图，已知空间四边形中,是的中点。求证：(1)平面CDE；()平面平面。 证明:(1) 同理,又 平面(2)由（1）有平面又平面, 平面平面例2、(菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥的底面是菱形.,为的中点（）求证:平面；()求证：平面平面.例3、（线线、线面垂直互相转化)已知中，面,，求证：面证明: 又面 面 又面 图2例4、(直径所对的圆周角为直角)如图所示,已知垂直于圆O在平面，是圆O的直径,是圆的圆周上异于、的任意一点，且,点是线段的中点.求证:平面证明:所在平面,是的弦，. 又是的直径，是直径所对的圆周角, 平面,平面. 平面,平面，. ，点是线段的中点. ,
3、平面,平面. 平面. 例、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中,四边形BCD是等腰梯形，C,DAB=60，EB，CBD=CF 求证：B平面AED;证明由于四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DB60，因此ACB=120又CD，因此DB30，因此AD=0，即ADB.又EBD，且AAD=A,AE，AD平面D,因此平面AE.例6、（勾股定理的逆定理)如图75所示,已知直三棱柱A1B1C1中,AB为等腰直角三角形，BAC=90，且ABAA,D、E、F分别为BA、1C、BC的中点.求证:()DE平面ABC；(）B1F平面AE.例、（三垂线定理）证明:在正方体ABC11CD中,A1C平面1D 证明：连
4、结AC AC为AC在平面C上的射影练习；、 如图在三棱锥ABC中，AB=AC,D为BC的中点,O平面ABC,垂足O落在线段AD上.证明:A；、直三棱柱ABC1B1C1中，ACBA1，D是棱AA1的中点,DC1.证明:DC1BC。3如图，平行四边形CD中,A60，AB2,AD4.将CBD沿折起到EB的位置，使平面EB平面ABD(1)求证:AD;(2)求三棱锥ABD的侧面积.4、在正三棱柱中,若B2，求点到平面的距离。、如图所示,在四棱锥PACD中，底面BCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,A=AD.求证：(1）DP;(2)EF平面PD .6、如图7-59(),在RtA中
5、,C=90，,E分别为C，B的中点,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到1E的位置，使1FCD,如图(2).（1)求证：D平面A1C（2)求证:A1FE(3)线段A1上与否存在点,使A1C平面DEQ?阐明理由立体几何垂直总结1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义:若始终线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（)如果始终线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。(2)如果两条平行线中的一条垂直于一种平面，那么另一条也垂直于这个平面。(3）始终线垂直于两个平行平面中的一种平面，它也垂直
6、于另一种平面。（4)如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。3、面面垂直的判断:一种平面通过另一种平面的垂线,这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用措施：AEDBC例、(等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，是的中点。求证：(1）平面CDE；(2)平面平面。 证明：() 同理,又 平面(2)由(1)有平面又平面， 平面平面例2、(菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥的底面是菱形,为的中点()求证:平面；（)求证：平面平面例3、(线线、线面垂直互相转化)已知中，面，,求证:面.证明： 又面 面 又面 图2例4、(直径所对的圆周角为直角）如图2所示,
7、已知垂直于圆O在平面,是圆O的直径，是圆O的圆周上异于、的任意一点,且,点是线段的中点求证：平面.证明：所在平面,是的弦,. 又是的直径，是直径所对的圆周角,. 平面，平面 平面,平面,. ，点是线段的中点. ,平面，平面 平面.例5、(证明所成角为直角）在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形，ACD,DB=60,EBD,CBCD=CF. 求证：BD平面;证明 由于四边形ABD是等腰梯形,ABCD，DAB=60,因此ADCC=2.又CBCD,因此CB3,因此A90,即AD又BD,且EAD=A,E,AD平面A，因此平面E.例6、（勾股定理的逆定理）如图75所示，已知直三棱柱A1C1中，A
8、C为等腰直角三角形，BA0,且AB=A1，D、E、F分别为B1A、C、BC的中点.求证：()D平面C;(2)B1F平面AE例7、(三垂线定理)证明:在正方体ABD-AB1C1D中,A1C平面B1D 证明:连结AC A为A1C在平面AC上的射影练习；1、 如图在三棱锥PBC中,ABC，D为B的中点,PO平面B,垂足O落在线段AD上.证明：PBC；2、直三棱柱ABCA1B1C1中,CB=AA1，D是棱的中点，DC1BD()证明：DC；证明 由题设知,三棱柱的侧面为矩形由于D为A1的中点,故C=D1.又A=AA,可得DCDC2=C，因此C1.又D1BD，CBD,因此DC1平面BCD.由于BC平面CD
9、,因此DC1B3.如图，平行四边形ABC中,DAB=60,AB2,AD=4.将CB沿BD折起到BD的位置，使平面EB平面AD（1)求证:ABDE;(2）求三棱锥EABD的侧面积.（1)证明:在ABD中,AB=，AD=,DB=60，设F为AD边的中点,连接FB，ABF为等边三角形，B=60,又DFF2,BFD为等腰三角形.FDB=0,故AD=9.ABD.又平面EBD平面BD,平面BD平面DD,AB平面AB,平面EBD.DE平面B,ABDE.(）【解析】由(1)知ABD，DAB,DBD，从而DEBD.在RtDBE中，DB=2，DCA=2,DBE=DBDE=2.AB平面EBD,BE平面EBD,ABB
10、EBE=CD=4,SABABBE4D，平面EBD平面ABD，ED平面B.而AD平面D，AD，ADEDDE4.综上，三棱锥EAB的侧面积S=8+24、在正三棱柱中，若B=2，求点A到平面的距离。6 如图所示，在四棱锥PACD中，底面AD是矩形，侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=D求证:(1）D；()EF平面PCD 证明(1)PA底面ABC,CD.又矩形中，CDAD,且APAA,D平面PAD,D(2)取D的中点，连接G，FG.又、F分别是PD、C的中点,F綊C,GF綊AE,四边形AEFG是平行四边形，AGEFPA=,G是PD的中点,GPD,EFPD,CD平面PAD，A平面D.
11、CDAG.EFCD.PDCDD,E平面PCD.6、如图759(1)，在RABC中，C90，D，E分别为AC,AB的中点,点F为线段D上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使1F，如图(2).(1)求证:E平面A1CB.(2）求证：AFB.（3)线段A1B上与否存在点Q,使A1平面Q？阐明理由.【规范解答】(1）由于D，分别为A,AB的中点，因此DBC.2分又由于D平面1B,因此DE平面A1CB.4分（2)由已知得ACBC且EB，因此DEAC.因此DAD，DCD.因此DE平面A1DC.分又1F平面A1C,因此DE1F.又由于1FCD，CDD=D,因此A1平面BDE,又BE平面BCD，因此A1B9分（)线段A1上存在点Q，使AC平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C，A1B的中点,，则PQBC.又由于DBC，因此DPQ因此平面DE即为平面DEP.由(2)知，D平面A1D
