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1、(2010-2012)“华约”自主招生数学试题及解答_图文2010年“华约”自主招生试题解析 一、选择题 1设复数w=(（A）-32a+i1+i)，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（ ）122（B）- （C）12（D）32 2设向量a,b，满足|a|=|b|=1,ab=m，则|a+tb|(tR)的最小值为（ ） （A）2 （B ） （C）1 （D 3。缺 4。缺5在DABC中，三边长a,b,c，满足a+c=3b，则tan（A）15A2tanC2的值为（ ）（B）14（C）12（D）23 OH6如图，DABC的两条高线AD,BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，与AF相
2、交于G，则DOFG与DGAH面积之比为（ ） （A）1:4 （B）1:3 （C）2:5 （D）1:2 7设f(x)=e(a0)过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，则DPQR的面积的最小值是（ ）ax（A）1 （B ）222（C）e2（D）e24 2228设双曲线C1:xa-y24=k(a2,k0)，椭圆C2:xa+y4=1若C2的短轴长与C1的实轴长的比值等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B）2 （C ） （D）49欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶
3、点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为（ ） （A）6 （B）7 （C）8 （D）910设定点A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用s表示空间以直线OA为轴满足条件s(B)=C的旋转，用t表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用w表示空间以l为轴的180旋转设sot表示变换的复合，先作t，再作s。则w可以表示为（ ）（A）sotosotos （B）sotosotosot （C）tosotosot （D）sotososotos二、解答题 11在DABC中，已知2sin2A+B2+cos2C=1，外接圆半
4、径R=2（）求角C的大小；（）求DABC面积的最大值12设A、B、C、D为抛物线x2=4y上不同的四点，A,D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l设D到直线AB，直线AC的距离分别为d1,d2，已 知d1+d2=（）若DABC的面积为240，求点A的坐标及直线BC的方程 13 （）正四棱锥的体积V=3（）判断DABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；，求正四棱锥的表面积的最小值；（）一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值 14假定亲本总体中三种基因型式：AA,Aa,aa的比例为
5、u:2v:w(u0,v0,w0,u+2v+w=1)且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个 （）求子一代中，三种基因型式的比例；（）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由 15设函数f(x)=x+mx+1，且存在函数s=j(t)=at+b(t1（）证明：存在函数t=y(s)=cs+d(s0),满足f(22s+1s13n-1,a0)，满足f()=2t-1t2t-1t)=2s+1s；（）设x1=3,xn+1=f(xn),n=1,2,L.证明：xn-22010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案一、选择题AD C ABDBD二、解答题11解：（）由2s
6、in22co2A+B2C2-+cos2C=1得 =1-coCs 2,所以cosC=-(2cos2-1).即2cos2C+cosC-1=0(2cosC-1)(cosC+1)=0因为C为DABC内角所cosC+10，cosC=C=12， p3. （）c=2RsinC=42=又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,，即12=a2+b2-ab,又a+b-ab2ab-ab=ab,所以ab12. 有SgABC=12absinC=4ab412=， 22，当且仅当a=b即gABC为等边三角形时，g ABC的面积取得最大值 12解： （）设A(x0,则D(-x0,由y=14x0),B(x1,214x1)
7、,C(x2,214x2), 214x0) 12x0,12x0x+b. 212x可知的斜率k=-因此可以设直线BC方程为y=-把y=14x代入，整理得x+2x0x-4b=0, 22所以x1+x2=-2x0因为AB,AC都不平行于y轴，所以直线AB,AC斜率之和为1kAB+kAC=1+(x1-x0)x1-x022(x2-x0)x2-x0=(x1+x2+2x0)=0 22可知直线AB,AC的倾角互补，而AD平行于x轴， 所以AD平分CAB.作DEAB,DFAC,E,F为垂足则gADEgADF可得DE=DF 由已知DE+DF=可得DE=， AD,，所以DAE=DAF=45 所以CAB=90,gABC为
8、直角三角形（）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为 y-14x0=-(x-x0),y-142214x0=x-x0, 2把y=2x分别代入，得 222x+4x-x0-4x0=0,x-4x-x0+4x0=0, 所以AB=0+2,AC=0-2. 由已知可知所以12122ABAC=240,， 8x0-4=240,解得x=8,，所以A(8,16)或A(-8,16)当取A(-8,16)时，求得B(4,4)，又BC斜率-所以直线BC方程为y-4=4(x-4),即4x-y-12=0. 12x0=4,，同理，当取A(8,16)时，直线BC方程为4x+y+12=0. 13解：（）设正四棱锥的底面正方形的边长为
9、2a，高为h则正四棱锥的体积 V=43ah=23 正四棱锥的表面积S=4(a2+从而S=32S9V32a2 =8)(+h) ).3令t= (),设f(t)=ah21t(1+,t0 3则f(t)=t-2-令f(t)=0,解得t=8.当0t8时，f(t)8时，f(t)0.f(t)当t=8时取得最小值f(8)=8正四棱锥的表面积的最小值为4.（）一般地，设正n棱锥的底面正n边形的中心到各边的距离为a，高为h，则n正边形的体积正棱锥的表面积 由（）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的4倍。解：（）
10、参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为AA，Aa，aa的概率如下表： 子一代的基因型式为AA的概率为 p1=u1+2uv112+2u+4v224由对称性知子一代的基因型式为aa的概率为21(=u+v) .2p3=(v+w)2.子一代的基因型式为Aa的概率为p2=2uv11+uw1+2u222 +421212+21+uw12+vw2=2(uv+uw+v+v)w=2(u+v)(v+w ) .若记p=u+v，q=v+w，则p0，q0， p+q=1，子一代三种基因型式：AA，Aa，aa的比例为p:2pq:q.22（）由（）可
11、知子二代的基因型式为AA，Aa，aa的比例为a:2ab:b，其中 a=p+pq，b=pq+q. 由p+q=1，可得a=p，b=q.故子二代三种基因型式AA，Aa，aa的比例为p:2pq:q，与子一代基因型式的比例相同.15解法一： （）令f(2t-1t)=22222222s+1s，代入s=at+b化简得a(m-4)t+b(m-4)+a-3t+(b+1)=0由于等式对所有t12成立，可知b+1=0b(m-4)+a-3=0 a(m-4)=0解得b=-1,m=4,a=3 f(x)=x+4x+1)= ，代入t=cs+d，化简得cs+d=3s+1 令f(2s+1s2t-1t所以存在t=y(s)=3s+1
12、(s0) 使得f(2s+1s)=2t-1t（）令s1=1,t1=y(s1)=3s1+1=4sn+1=j(tn)=3tn-1 tn+1=y(sn+1)=3sn+1+1,n=1,2,L 注意到x1=2s1+1s1，由（）知， x2n-1=2sn+1sn,x2n=2tn-1tn,n=1,2,L sn+1=3tn-1=9sn+2 化为sn+1+可知sn=1414=9(sn+2n-214) (53-1)(532n-1tn=3sn+1=14+1) 从而x2n-1=2+1tn1sn=2+4532n-2-1 x2n=2-=2-4532n-1+1 统一写为xn=2+(-1)n+14534n-1+(-1)n,n=1,2,L 从而有|xn-2|=43n-1+3n-1+(-1)n13n-1解法二：（）同解法一，可求出b=-1,m=4,a=3f(x)=x+4x+1取t=3s+1则s=t-13 2t+1+4所以f(2s+1)=f(2t+12t-1 )=st-12t+1t-1+1t（）由f(x)=x+4x+1，xn+1=f(xn)得xn+1=xn+4x （1）n+1把（1）式两边都
