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1、式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法.3、考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4 )分组分解法.一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用 的公式，例如：(1) a2 - b2=(a+b)(a - b);(2) a22ab+b2=(ab)2;(3) a3+b
2、3=(a+b)(a2 - ab+b2);(4) a3 -b3=(a- b)(a2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6) a3+b3+c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2 -ab-bc- ca);(7) an-bn=(a - b)(an_1+an.2b+an.3b2+abn.2+bn_1)，其中 n 为正警攵；(8) an-bn=(a+b)(an-3口+3口景2-.+3如-2-如-1),其中 n 为 偶数；(9) an+bn=(a+b)(an-i - an_2b+an_3b2-.- abn_2+bn_i
3、),其中 n 为 奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号 等正确恰当地选择公式.例题1分解因式：(1) - 2X5n_iyn + 4X3n_iyn+2 - 24一四+4；(2) X3 - 8y3 - Z3 - 6xyz；(3) a2+b2+c2 - 2bc+2ca - 2ab ；(4) a7 - a5b2+a2b5 - b7.例题2分解因式：a3+b3+C3 - 3abc .例题 3 分解因式：X15+X14+X13+.+X2+X+ |寸(Iq e)寸(q & (9) z(q+s寸+(zq )cxlI+(q &)6 艾(l+x+zx+mx+bc+sx)s +
4、 ZH寸)z + f O寸 + 汉K寸义 ZHZ I 寸x(s)CXI sx + oxs r+义 R+ =芸1)wml，Wuq + luq + unub .0R1H X xCN+m( + x)II部看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内 可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式 :2ax -10ay + 5by - bx对应练习题分解因式:2、xy - x - y +11、a 2 - ab + ac - bc（二）分组后能直接运用公式 例题3分解
5、因式 :x 2 一 y 2 + ax + ay例题4分解因式： a 2 - 2ab + b 2 - c 2对应练习题分解因式:3、x 2 - x - 9 y 2 - 3 y4、x 2 - y 2 - z 2 - 2 yz综合练习题分解因式:(1) x 3 + x 2 y - xy 2 - y 3(2 ) ax 2 - bx 2 + bx - ax + a - b(3 ) x 2 + 6 xy + 9 y 2 -16a 2 + 8a -1(4 ) a 2 一 6ab + 12b + 9b 2 一 4a(5) a 4 一 2a 3 + a 2 一 9(6 ) 4a 2 x - 4a 2 y - b
6、 2 x + b 2 y(7 ) x 2 - 2 xy - xz + yz + y 2(8 ) a 2 一 2a + b 2 一 2b + 2ab +1(9 ) y (y 一 2) - (m - 1)(m +1)(10 ) (a + c)(a 一 c) + b(b 一 2a)(12)( 11 )a 2(b + c) + b 2( a + c) + c 2 (a + b) + 2abca 4 + 2a 3b + 3a 2b 2 + 2ab3 + b 4.(13 ) (ax + by)2 + (ay - bx)2(14 ) xyz(X3 + y3 + z3) - y3z3 - z3%3 - %3y
7、3(15 ) x4 2ax2 + x + a 2 a(16 ) %3 一 3x2 + (a + 2)x 一 2a(17) (X +1)3 + (X + 3)3 4(3X + 5)三、十字相乘法1、十字相乘法(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 X 2 +(p + q) x + pq = (X + P )(x + q)进行分解.特点：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3 )一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式：x2 + 56例题2分解因式：x2 - 7X + 6对应练习题分解因式：(1) x2 +14x + 24(2) a 2 - 15a + 36(3) x2
8、 + 4x 一 524(4) x 2 + x - 2(5) y 2 - 2 y -15(6) x 2 -10x -(二)二次项系数不为1的二次三项式一 ax 2 + bx + c条件：(2)(3) 分解结果：， 例题3分解因式：3x2 - 11x +10I a = a aa cc = c ca cb = a c + a cb = a c + a c12211221ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c )对应练习题分解因式:(2) 3 x2 7 x + 2(3) 10x2 -17x + 3(三) 二次项系数为1的齐次多项式 例题4分解因式：a2 8ab 128b2分
9、析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18 b116b8b + ( 16b)= 8b对应练习题分解因式：(1)x2 3xy 2y2(2)m 2 6mn 8n2(3)a2 ab 6b2(四) 二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x2 7xy 6y2例题6分解因式：x2y2 3xy 2对应练习题分解因式:(1) 15x27 xy 4y2(2) a2x2 6ax 8综合练习题分解因式:(2 ) 12 x 2 - 11xy -15 y 2(3) (x + 心3(x + 少_ 10(4 ) (a + b)2 4a - 4b + 3(6 ) m 2 一 4m
10、n + 4n 2 一 3m + 6n + 2(7) x2 + 4xy + 4y2 -2x-4y-3(9 ) 4 x 2 - 4 xy - 6 x + 3 y + y 2 -10(8) 5(a + b)2 + 23( a 2 - b 2) -10( a - b)2(10 ) 12(x + y)2 +11(x2 - y2) + 2(x - y)2思考：分解因式：abcx2 + (a2b2 + c2)x + abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F型多项式的分解因式.条件：(1) A = a a C = c c F = f f 1
11、21 212(2 ) a c + a c = B，c f + c f = E ，a f + a f = D122112211221即：ac + a c = B , c f + c f = E , a f + a f = D 1 22 11 22 11 22 1贝U Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = (a x + c y + f )(a x + c y + f )111222例题 7 分解因式：(1) x2 3xy 一10y 2 + x + 9y 一 2(2 ) x 2 + xy 6 y 2 + x +13 y 6解：(1) x 2 3 xy 一10 y 2 +
12、x + 9 y 一 222 y应用双十字相乘法：x2xy - 5xy =-3xy , 5 y + 4 y = 9 y , x + 2x = x.，原式二(x 5y + 2)(x + 2y x 2 + xy - 6 y 2 + x +13 y 一 6)(2) x 2 + xy 一应用双十字相乘法：3xy 2xy = xy , 4 y + 9 y = 13 y , 2x + 3x = x .，原式二(x - 2y + 3)(x + 3y 一 2)对应练习题分解因式:(1) x 2 + xy 一 2 y 2 - x + 7 y 一 6(2 ) 6 x 2 - 7 xy 一 3 y 2 - xz +
13、7 yz - 2 z 23, 十字相乘法进阶例题 8 分解因式：y (y + 1)(x2 + 1) + x(2y 2 + 2y + 1)例题9 分解因式：ab(x2 y2) 一 (a2 b2)(xy + 1) (a2 + b2)(x + y)例题 分解因式：x2 - 1 6x2 一 7xy 一 3 y2 + x 一 7 y 一 2xy 一10y 2 + x + 9y 一 2对应练习题分解因式:(2) x2 + xy 一 2 y 2 一 x + 7 y 一 6(4) a 2 + ab - 6b 2 + 5a + 35b 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体并用一
14、个新的字母替 代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.例题 1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2) -12 .例题2 分解因式：(x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2例题 3 分解因式：(x -1)(x +1)(x + 3)(x + 5) - 9分析：型如abed + e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘例题4 分解因式：(x2-7x + 6)( x 2 - x-6) + 56.例题5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3) - 90 .例题6分解因式 :4(3x2 - x - 1)(x2 + 2x - 3) - (4x2 + x - 4)2提示:可设 3x2 - x -1 = A, x2 + 2x 一 3 = B
