例谈位似变换的应用江苏省东台市唐洋镇中学 杨吟柱（邮编：224233）位似变换是新课程标准中的新增内容 ，其性质的综合应用比较广泛 不仅在证明题中有所应用，而且在函数、作图中都有着十分重要的作用一.位似变换在函数中的应用1例1. 已知反比例函数 y ，求以坐标原点为位似中心，位似比为 2 : 1的反比x例函数解析式一 1分析：要求反比例函数解析式， 只要知道一点的坐标，因此在y二 的图象上找一点 A ,x所求反比例函数图象上对应点 A，由已知OA : 0A=2 : 1，从而求出 A点坐标解:1在y 图象上取一点xA 1,1 ,连结0A并延长0A至A ,使OA ： 0A =2 :则得所求图象上的对应点 A 2,2 4•••所求反比例函数关系式为 y =乞x例2. 已知，如图，抛物线y=x2 -2x-2，求以原点为位似中心，且位似比为的抛物线的关系式分析：要求抛物线的关系式，可以寻找特殊点的坐标已知抛物线顶点A 1, -3，与y轴交点B 0, -2，根据位似性质可以求出未知抛物线的顶点 A ■和与y轴交点B ■的坐标521h I\ i、TO / x 5解：•••抛物线 y =x2 - 2x - 2-2 -B-42= (x_1 ) -3•顶点A 1, -3，与y轴交点B 0,-2所求抛物线与已知抛物线是位似图形，根据位似图形的性质可得所求抛物线顶点A 2,-6，与y轴交点B 0, -4•••设所求抛物线关系式为 y二a x-22-62-4 二 a 0 -2 -6#4a =21a 二一21 2•••抛物线关系式 y =丄（x —2 ）—62求位似变换后函数图象关系式一般方法：先在原函数图象上取一些特殊点，然后 根据位似中心、位似比以及位似图形的性质，求出所求图象上的一些特殊点的坐标。
因此解题关键是如何选择特殊点，具体选法要根据函数图象性质来确定二.位似变换在作图中的应用位似变换解作图题的一般方法：先作一个和求作图形的相似图形 S，然后选择适当的位似中心和位似比，作出图形 S的位似图形S，使S的位置或大小符合作图题的要求因此其关键是如何选择位似中心，具体选法要看图形的性质、题意和解题思 想方法来决定例3. 如图，已知.AOB , E为.AOB内一定点求作：eC，使&C经过E点，且与N AOB两边都相切分析：要使「C经过E点，且与• AOB两边相切，暂时放弃过 E点这个条件，保留与■ AOB两边相切，这时可作无数个圆，它们都与要作 位似，以O为位似中心，这些圆的圆心都在 .AOB的平分线OD上，在OD上任意取一点 C，即可 以C •为圆心，作-C •与.AOB两边相切，则:C •与匸C是以O为位似中心的 位似图形根据位似的性质，点 E的对应点E•是OA与、C •的交点，那么点 E 可以作出作法：1•作• AOB的平分线OD ；2•在OD上任取一点C，作、C ■使之与两边OA、OB相切;3•连结OE，交•于点E ；4•连结EC ;5•过 E 作 EC、EC ■交 OD 于 C ；6.作v C （以CE为半径）。
•就是所求作的圆例4.已知 ABC，在 ABC内，求作一正方形 GDEF，使DE在BC上，G、F 分别在AB、AC上分析：假设所求作正方形 GDEF，两顶点D、E在. ABC的边BC上，G、F分别 在AB、AC上先放弃F在AC上的要求，而保留其他要求，则可得到以B为 位似中心的正方形 GDEF的位似图形GDEF •，并且FF •过点B由此可得 作图方法作法：••作正方形 GDEF ,使G ■在BA上，D E ■在2•连接BL并延长交AC于F ；3•作 EF _ BC 于 E，作 FG、CB 交 AB 于 G ；••作 GD _ BC 于 D•正方形GDEF即为所求作正方形D/ E心 E。