北师大版七年级下册数学培优压轴题一．解答题（共 8 小题）1．已知四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕 B 点旋转，它两边分别交 AD， DC（或它们延长线）于 E，F．当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），易证 AE+CF=EF ；当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给 予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样数量关系？请写出你猜想，不需证明．2．（1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F 分别是边 BC、CD 上点， 且∠EAF= ∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F 分别是边 BC、CD 上点， 且∠EAF= ∠BAD，（1）中结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上点，且1 / 10∠EAF= ∠BAD，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间数量关系， 并证明．3．如图 1，将两个完全相同三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°． （1）操作发现：如图 2，固定△ABC，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时， 填空： ①线段 DE 与 AC 位置关系是 ；②设△BDC 面积为 S ，△AEC 面积为 S ，则 S 与 S 数量关系是 ．1 2 1 2（2）猜想论证：当△DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示位置时，小明猜想（1）中 S 与 S 数量关系仍然1 2成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC、CE 边上高，请你证明小明猜想．（3）拓展探究：已知∠ABC=60°，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB 交 BC 于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使S =S ，△DCF △BDE请直接写出相应 BF 长．4．如图 1，已知线段 AB 长为 2a，点 P 是 AB 上动点（P 不与 A，B 重合），分别以 AP、PB 为边向线 段 AB 同一侧作正△APC 和正△PBD．2 / 10（1）当△APC 与△PBD 面积之和取最小值时，AP= ；（直接写结果）（2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设∠AQC=α，那么α大小是否会随点 P 移动而变化？请说明理由； （3）如图 2，若点 P 固定，将△PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 180°），此时α大小是 否发生变化？（只需直接写出你猜想，不必证明）5．如图 1，Rt△ABC 中 AB=AC，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC，AM 垂直 BD，垂足为 M，AM 延长线交 BC 于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交于点 F．试判断△DEF 形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题方法，请你把探索过程中某种思路写出来（要 求至少写 3 步）；（2）在你经历说明（1）过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已 知条件，完成你证明．1、画出将△BAD 沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转 90°后图形；2、点 K 段 BD 上，且四边形 AKNC 为等腰梯形（AC∥KN，如图 2）．附加题：如图 3，若点 D、E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断△DEF 形状，并说明理由．6．如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 中点，M 为直线 BC 上一动点， △DMN 为等边三角形（点 M 位置改变时，△DMN 也随之整体移动）．（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样数量关系？点 F 是否在直线 NE 上？ 都请直接写出结论，不必证明或说明理由；3 / 10（2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）结论中 EN 与 MF 数量关系是否仍然成立？若 成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应图形，并判断（1）结论中 EN 与 MF 数量关系是 否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．7．已知：等边三角形 ABC；（1）如图 1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段 BP、 PC、AP 之间数量关系，并证明你猜想；（2）如图 2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．8．认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式运算法则，相应，我们可以计算出多项式展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式各项系数进一步研究发现，当 n 取正整数时可以单独列成表中形式：4 / 10上面多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n展开式是一个几次几项式 ？并预测第三项系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n 取正整数）展开式各项系数之和为 S，（结果用含字 母 n 代数式表示）．北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析1、【解答】∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，5 / 10在△ABE 和△CBF 中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE= BE，CF= BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF 为等边三角形； ∴AE+CF= BE+ BF=BE=EF；图 2 成立，图 3 不成立．证明图 2．延长 DC 至点 K，使 CK=AE，连接 BK，在△BAE 和△BCK 中，则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF 和△EBF 中， ∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即 AE+CF=EF．图 3 不成立，AE、CF、EF 关系是 AE﹣CF=EF．2．【解答】（1）延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF． ∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；（1）中结论 EF=BE+FD 仍然成立．（3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE ﹣FD．证明：在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD．6 / 10∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG；∴EF=BE﹣FD．3．【解答】（1）①∵△DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC= AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形性质，△ACD 边 AC、AD 上高相等，∴△BDC 面积和△AEC 面积相等（等底等高三角形面积相等），即 S =S ；故答案为：DE∥AC；S =S ；1 2 1 2（2）如图，∵△DEC 是由△ABC 绕点 C 旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN 和△DCM 中， ，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC 面积和△AEC 面积相等（等底等高三角形面积相等），即 S =S ；1 2（3）如图，过点 D 作 DF ∥BE，易求四边形 BEDF 是菱形，所以 BE=DF ，1 1 1且 BE、DF 上高相等，此时 S 1△DCF1=S△BDE；过点 D 作 DF ⊥BD，∵∠ABC=60°，F D∥BE，2 1∴∠F F D=∠ABC=60°，∵BF =DF ，∠F BD= ∠ABC=30°，∠F DB=90°，∴∠F DF =∠ABC=60°， 2 1 1 1 1 2 1 2∴△DF F 是等边三角形，∴DF =DF ，∵BD=CD，∠ABC=60°，点 D 是角平分线上一点，1 2 1 2∴∠DBC=∠DCB= ×60°=30°，∴∠CDF =180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，1∠CDF =360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF =∠CDF ，∵在△CDF 和△CDF 中，2 1 2 1 2，∴△CDF ≌△CDF （SAS），∴点 F 也是所求点，1 2 2∵∠ABC=60°，点 D 是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD= ×60°=30°，又∵BD=4，∴BE= ×4÷cos30°=2÷= ，∴BF = ，BF =BF +F F = + = ，1 2 1 1 2故 BF 长为或 ．7 / 104．【解答】（1）设 AP 长是 x，则 BP=2a﹣x，∴S△APC+S△PBD= x•x+ （2a﹣x）• （2a﹣x）= x2﹣ ax+ a2，当 x=﹣ =﹣=a 时△APC 与△PBD 面积之和取最小值，故答案为：a；（2）α大小不会随点 P 移动而变化，理由：∵△APC 是等边三角形，∴PA=PC，∠APC=60°， ∵△BDP 是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°；（3）此时α大小不会发生改变，始终等于 60°．理由：∵△APC 是。