专题 04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16 世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：1．求方程中字母系数的值或取值范围；2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征；4．构造一元二次方程；5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例 1】设关于 x 的二次方程 (m24)x2(2m 1)x 1 0 (其中 m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则 s 的取值范围是_________.【例 2】 如果方程 (x 1)(x22x m ) 0 的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数 m 的取A ． 0 m 1 B． m 3值范围是_________.3 3C． m 1 D． m 14 4 4【例 3】已知 ， 是方程 x2 7x 8 0 的两根，且 ．不解方程，求23 2 的值．【例 4】 设实数 s, t 分别满足19s 2 + 99s + 1 = 0, t 2 + 99t + 19 = 0 并且 st ¹ 1 ，求st + 4s + 1t的值．【例 5】（1）若实数 a, b 满足 a2 + 5 = 8a ， b2 + 5 = 8b ，求代数式b - 1 a - 1+a - 1 b - 1的值；ì3x + 2 y + z = a（2）关于 x, y, z 的方程组 íî xy + 2 yz + 3zx = 6有实数解 ( x, y, z) ，求正实数 a 的最小值；（3）已知 x, y 均为实数，且满足 xy + x + y = 17 ， x2 y + xy 2 = 66 ，求 x4 + x3 y + x 2y 2 + xy 3 +y 4 的值．【例 6】 a, b, c 为实数，ac < 0 ，且 2a + 3b + 5c = 0 ，证明一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 有大于35而小于 1 的根．能力训练A 级1．已知 m ， n 为有理数，且方程 x2 + mx + n = 0 有一个根是 5 - 2 ，那么 m + n = ．2．已知关于 x 的方程 x2 - 3x + m = 0 的一个根是另一个根的 2 倍，则 m 的值为 ．3．当 m = 时，关于 x 的方程 8 x 2 - (2 m2 + m - 6) x + 2m - 1 = 0 的两根互为相反数；当 时，关于 x 的方程 x2 - 2mx + m2 - 4 = 0 的两根都是正数；当 时，关于 m的方程 3x2 + 2 x + m - 8 = 0 有两个大于 -2 的根．4．对于一切不小于 2 的自然数 n ．关于 x 的一元二次方程 x2 - (n + 2) x - 2n2 = 0 的两根记为a , b (n ³ 2) 则 1(a - 2)(b - 2) (a - 2)(b - 2)n n2 2 3 31+ ++ 1(a - 2)(b2007 2007- 2)= ．5．设 x , x 是方程 x 2 - 2(k + 1)x + (k 2 + 2) = 0 的两个实根，且 ( x + 1)(x + 1) = 8 ，则k 的值为（ ）1 2 1 2A． -3或1 B． -3 C．1 D． k ³12的一切实数în > 2în < 2în > 2în < 26．设 x , x 是关于 x 的一元二次方程 x2 + x + n - 2 = mx 的两个实数根，且 x < 0, x - 3x < 0 ，则1 2 1 2 1（ ）ìm > 1 ìm > 1 ìm < 1 ìm < 1A． í B． í C． í D． í7．设 x , x 是方程 x2 + 2 x - k = 0 的两个不等的实数根，则 x 2 + x1 2 122- 2 是（ ）A．正数 B．零 C．负数 D．不大于零的数8．如图，菱形 ABCD 的边长是 5，两对角线交于 O 点，且 AO，BO 的长分别是关于 x 的方程x 2 + (2 m - 1)x + m2 + 3 = 0 的根，那么 m 的值是（ ）A． -3 B．5 C． 5或- 3 D． -5或39．已知关于 x 的方程： x (m - 2) x -2m24= 0 ．（1）求证：无论 m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是 x , x ，且满足 x = x + 2, 求 m 的值及相应的 x , x ．1 2 2 1 1 210．已知 x , x 是关于 x 的一元二次方程 kx2 + 4 x - 3 = 0 的两个不相等的实数根．1 2（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数 k ，使 2 x + 2 x -1 2由．3x x1 2= 2 成立？若存在，求 k 的值；若不存在，说明理．如图，已知在 ABC 中，∠ACB＝90°，过 C 点作 CD⊥AB 于 D，设 AD＝m，BD＝n，且 AC2：BC21＝2：1；又关于 x 的方程 x2 - 2(n -1) x + m2 -12 = 0 两实数根的差的平方小于 192，求整数 m、n 的值．4CAD B12．已知 m, n 是正整数，关于 x 的方程 x2 - mnx + (m + n) = 0 有正整数解，求 m, n 的值．B 级1．设 x ， x 是二次方程 x 2 + x - 3 = 0 的两根，则 x 3 - 4 x 2 + 19 = ．1 2 1 22．已知 ab ¹ 1 ，且有 5a 2 + 1995a + 8 = 0 及 8b2 + 1995b + 5 = 0 则ab= ．3 ．已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 6 x + k + 1 = 0 的两个实数根是 x , x ，且 x 2 + x1 2 122= 24 ，则k = ．4．已知 x , x 是关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 2 的两个实数根，则 ( x - 2 x )( x - 2 x ) 的最大1 2 1 2 2 1值为 ．5．如果方程 x2 + px + 1 = 0 （ p ＞0）的两根之差为 1，那么 p 等于（ ）A．2 B．4 C． 3 D． 56．已知关于 x 的一元二次方程 x2 - mx + 2m - 1 = 0 的两个实数根分别是 x , x ，且 x 2 + x1 2 122= 7 ，则( x - x )2 的值是 ( )1 2A．1 B．12 C．13 D．257．在 ABC 中，∠C＝90°， a 、 b 、 c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边， a 、 b 是关于 x的方程 x2 - 7x + c + 7 = 0 的两根，那么 AB 边上的中线长是 ( )B． C．5 D．2A．3 52 28．设 a 2 + 1 = 3a ， b2 + 1 = 3b 且 a ¹ b ，则代数式 11+ 的值为（ ）a2 b2A．5 B．7 C．9 D．119 ． 已 知 a, b 为 整 数 ， a > b ， 且 方 程 3x 2 + 3(a + b) x + 4ab = 0 的 两 个 根 a , b 满 足 关 系 式a (a + 1) + b (b + 1) = (a + 1)(b + 1) ．试求所有整数点对 (a, b) ．10．若方程 x2 + 3x + 1 = 0 的两根 a , b 也是方程 x6 - px 2 + q = 0 的两根，其中 p, q 均为整数，求 p, q 的值．11. 设 a, b 是 方 程 x2 - 3x + 1 = 0 的 两 根 ， c ， d 是 方 程 x2 - 4 x + 2 = 0 的 两 根 ， 已 知a b c d+ + + = M ．求证：b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c（1）（2）a 2 b2 c2 d 2+ + + = 7M - 7 ；b + c + d c + d + a d + a + b a + b + ca3 b3 c3 d 3+ + + = 49M - 68 ．b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c12．设 m 是不小于 -1 的实数，使得关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2(m - 2) x + m2 - 3m + 1 = 0 有两个不相等实数根 x , x ．1 2（1）若 x 2 + x122= 6 ，求 m 的值；（2）求mx 2 mx 21 + 21 - x 1 - x1 2。