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1、0 2 第 二 节 第 二 类曲线积分第二节第二类曲线积分分布图示引例变力沿曲线所作的功第二类曲线积分的概念空间曲线弧上的第二类曲线积分 第二类曲线积分的性质例2例5课堂练习第二类曲线积分的计算例1例3例4内容小结习题112返回内容要点一、引例：设有一质点在xOy面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,在移动过程中，这质点受到力F(x,y) P(x,y)i Q(x,y)j (2.1)的作用，其中P(x, y)， Q(x, y)在L上连续.试计算在上述移动过程中变力F(x,y) 所作的功.二、第二类曲线积分的定义与性质：A(x,y) P(x,y)i Q(x,y) jlA tdsJPcos Qcos
2、)ds平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是LP(X, y)dx Q(x,y)dy LP(x, y)dx LQ(x,y)dy性质1设L是有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，则LP(x,y)dx Q(x,y)dy LP(x,y)dx Q(x, y)dy ;即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关性质2如设L由L!和L2两段光滑曲线组成，则L Pdx QdyPdxQdyQdy .、第二类曲线积分的计算：x x(t), y y(t),LP(x, y)dx Q(x,y)dy Px(t), y(t)x (t) Qx(t), y(t) y (t)dt. (2.9)如果曲线L的方程为y y(x)
3、,起点为a,终点为b，则b,Pdx Qdy Px,y(x) Qx, y(x) y (x)dx.la如果曲线L的方程为x x(y),起点为C,终点为d，贝UdLPdx Qdy cPx(y),yx(y) Qx(y),ydy.例题选讲第二类曲线积分的计算例1 (E01)计算I L(x2 y)dx (y2 x)dy的值，其中L分别为图10-2-3中的路径：(1) 从 A(0,1)到 C(1,2)的直线；(2) 从 A(0,1)到 B(1,1)再从 B(1,1)到 C(1,2)的折线;(3) 从 A(0,1)沿抛物线 y x2 1 到 C(1,2).解(1)连接(0,1), (1,2)两点的直线方程为y
4、 x 1,对应于L的方向,x从0变到1,所以2 2I (X 3/2 x dx y)dx (y2 x)dyL1 2 2o(xx 1) (x 1) xdx125(2x 2x)dx .03从(0,1)到(1,1)的直线为y 1, x从0变到1,且dy 0;又从(1,1)到(1,2)的直线为x 1,y从1变到2，且dx0,于是I L(X2y)dx(y2x)dy(x2y)dx(y222x)dy(x y)dx (y x)dyABBC120(x21)dx1(y21)dy2 1083 33. 化为对x的定积分，L: y x2 1, x从0变到1, dy 2xdx,于是2 2I L(x y)dx (y x)dy
5、1 x (x 1) (x1) x 2 xdx01(2x5 43 2x2 2x 1)dx 2.0注：本例表明，即使被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同的积分路径的积分结果并不相等.例2 (E02)计算l xydx,其中L为曲线y2 x上从A(1, 1)到B(1,1)的一段弧(图 10-2-4).解(1)化为对x的定积分，y x.l xydxxydx xydxAOOB0x( 1x)dxx xdx0 化为对y的定积分，x y2, y从1变到1.l xydxxydxAB2244iyy(y)dy2iydy5注：易见化为对y的定积分计算较为简单例3计算l ydx xdy，其中L分别为图10-2-5中的
6、路线:(1)直线AB ；抛物线 ACB : y 2(x 1)2 1 ；(3)折线 ADB .解(1)直线Ab的方程为x 1 t, y 1 2t.对于L的方向，参数t从0变到1,于是1 1ydxLxdy0(12t)2(1t)dt0(34t)dt 5.抛物线Acb的方程为y2(x1)21,对于L的方向，参数x从1变到2,于是l ydxxdy2 22(x 1)11x4(x1) dx22(6x2 8x 3)1dx32(2x 4x 3x)215.在折线ADB AD DB 中，AD : y1, x 从 1 变至U 2; DB :x 2, y从1变到3l ydxxdyydx xdyADDBydxxdy23d
7、x2dy 145.11注：本例表明，如果被积函数相同，起点和终点也相同，沿着不同积分路径的积 分结果也可能相等.例 4 (E03)计算 xdx ydy (x y 1)dz, 为点 A(2,3,4)至点 B(1,1,1)的空间有向线段.解直线AB的方程为改写为参数方程为x t 1, y 2t 1, z 3t 1 (0 t 1), t 1对应着起点A , t 0对应着终点B,于是xdx ydy (x y 1)dz(t1)2(2t1) 3(3t 1)dt(14t6)dt13.例5 ( E04)求质点在力Fx2i xyj的作用下沿着曲线L (图10-2-6)x cost, y si nt从点A(1,0)移动到点B(0,1)时所作的功.解 注意到对于L的方向，参数t从0变到/2,所以2W x dx xydyAB/2cos2tdcos tcosts in tds in t/2(2 cos2t sint)dtcos313/2课堂练习1. 计算Lydx sin xdy,其中L为y sin x,(0 x)与x轴所围的闭曲线，依顺时针方向.2. 计算x3dx 3zy2dy x2ydz,其中 是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段AB.
