同余与子结构目 录中文摘要………………………………………………………………………………………01英文摘要………………………………………………………………………………………02引 言………………………………………………………………………………………03基本定义………………………………………………………………………………………04群 ………………………………………………………………………………………05环 ………………………………………………………………………………………08模 ………………………………………………………………………………………11半 群………………………………………………………………………………………15参考文献………………………………………………………………………………………19致 谢………………………………………………………………………………………20中文摘要本文讨论了群上的同余与正规子群之间、环上的同余与理想之间、模上的同余与子模之间的一一对应关系. 但是对于半群, 所有理想都能对应到相应的同余, 相反却不成立. 本文构造了一个交换幺半群, 得到了泛半群上同余与理想之间不一定存在一一对应的结论. 关键词: 半群, 群, 环, 模, 同余, 子结构，双射ABSTRACTIn this paper, we study the relationships between congruences and normal subgroups on a group, congruences and ideals on a ring, congruences and submodules on a module. For a semigroup, we could just prove that an idea is corresponding to a congruence, however on the contrary it’s not ture. In this paper, we construct a commtative monoid and prove that there is no bijective mapping between the set of all congruences and the set of all ideals of this monoid.Keyword: semigroup, group, ring, module, congruence, substructure, bijection function一、引言同余作为代数系统上保持所有运算的等价关系, 在每一个代数系统的研究中都占据着重要的地位. 而本文研究的主要是群、环、模、半群等代数系统上的同余与子结构的关系. 涉及到的内容主要有以下几点 :1．关于群, 本文主要参考文献[1]及文献[4], 详细研究了群的正规子群, 同余关系及关于同余生成的商群等, 并仿照文献[4]中已有结论得到本文定理3.4, 即可以根据给定的一个正规子群, 构造出一个相应的同余 ; 相反可以根据给定的一个同余, 构造出一个正规子群. 这样便初步得到群上的同余与正规子群之间的对应关系, 而进一步地通过定理3.5补充证明群上的同余与正规子群之间存在一一对应的关系. 2．关于环, 总体思路与群上的类似. 环的特殊子结构是理想, 所以本章着重讨论环上的同余与理想的关系. 仿照定理3.4, 给出并证明了定理4.5, 表明在环上可以根据给定的任意一个理想构造出相应的一个同余 ; 相反可以根据给定的一个同余, 构造出一个理想. 而通过定理4.6进一步补充证明了环上的同余与理想之间存在一一对应的关系.3．关于模, 由于模本身与环非常类似, 所以仿照定理4.5, 我们给出定理5.6, 凭此证明了在模上可以根据给定的任意一个子模而构造出一个相应的同余 ; 相反可以根据给定的一个同余, 构造出一个子模. 而通过定理5.7进一步补充证明了模上的同余与子模之间存在一一对应的关系. 4．关于半群, 通过定理6.4, 我们证明了半群上任意给定一个理想, 都可以构造出一个与之对应的同余 ; 而命题6.5则证明了交换幺半群上只要给出一个子半群, 便可以构造出一个同余 ; 并在此基础上, 本文构造出一个交换幺半群, 且根据该半群的一个子半群构造出的同余, 是无法找出任何理想与之对应. 并进一步探究发现, 该半群所有同余与理想分别组成的集合具有不同的阶. 通过此反例反驳了半群上同余与理想之间存在一一对应的关系. 二、基本定义等价关系是集合上一类重要的二元关系. 定义如下: 定义2.1[1] 设为一个集合, 是的一个子集, 若满足: （1）自反性: 对任意, 有; （2）对称性: 对任意, 若, 则; （3）传递性: 对任意, 若且, 则.则称是集合的一个等价关系[1].若集合中的元素定义了运算（本文只讨论二元运算）, 并且满足某些运算规律, 就做成了一个代数. 而同余就是代数上保持所有运算的等价关系. 本文讨论具有有限多个二元运算的代数系统, 设是一个代数, 其中“”是上一个二元运算, , 是的一个非空子集合, 称是上的一个同余，若（1）是上的一个等价关系,（2）对任意的, .我们也把（2）称为关于运算“”是相容的.在各种代数系统中, 同余往往会跟某种特殊的代数子结构一一对应, 下面我们将分别讨论群、环、模、半群等代数系统中同余及其子结构的关系.三、群上同余与子结构在群上, 正规子群是群上一类特殊子群, 而同余却是关于运算满足左右相容的特殊等价关系. 那么群上所有同余与所有正规子群之间是否有特殊的关系, 这一章我们便来讨论这一点.定义3.1[1] 设为一个群, 是群的一个子群, 称为的一个正规子群, 若, 有.定义3.2[1] 设是群的一个同余, 对集族, 其中 , 定义一个运算“”: , .则关于运算“”构成一个群. 定义3.3[1] 设是群的一个同余, 则我们把称之为的商群.下面我们来讨论一下群上同余与正规子群之间的关系.定理3.4[4] 设为一个群, 则有下面结论: （1）若为群的一个正规子群, 那么有为群的一个同余;（2）若是群的一个同余, 则（为单位元）为群的一个正规子群.证明: （1）首先证明是一个等价关系: a．（自反性）由于为群的一个子群, 所以有, , 即;b. （对称性）, 若, 则, 由于为群的一个子群, 所以, 所以; c.（传递性）, 若, , 即, 使得, , 由于为群的一个子群, 所以, 所以.下面只需再证明是相容的即可: , 若, , 即, 使得, . 由于为群的一个正规子群, 则有, 所以, 使得.则, 即.所以是群的一个同余.（2）由于为群的一个同余, 由定义3.3可知, 为的商群, 特别对于这个集合, 由于是群的单位元，所以我们有, 故关于的运算封闭. , 则由得, , 即, 所以. 因此是的一个子群. 再由, 有.故知是群的一个正规子群. □定理3.5 设为一个群, 表示上所有正规子群组成的集合, 表示上所有同余组成的集合, 则与之间存在一个双射.证明:首先我们定义:(1) ;(2) ;显然, 由定理3.4可知, 是良好定义的. 则要证与之间存在一个双射, 只须证, .（1）要证, 只须证, 即证, 即.而.所以, 即.（2）要证, 只须证, 即证, 即.a. , 由于, 所以有, 即.b. 有, 即, 所以, 即.所以, 即. □所以，由定理3.4及定理3.5可知：在群上, 所有同余与所有正规子群分别组成的集合之间存在一一对应的关系. 四、环上的同余与子结构在群上同余与正规子群分别组成的集合之间存在一一对应的关系. 在环上, 对应与群上正规子群类似性质的结构则是理想. 那么环上是否也有相应的结论呢？ 即在环上, 是否所有同余与其所有理想有一一对应的关系？ 这章我们便来讨论这一点.定义4.1[1] 设为一个环, 称为的一个理想, 若（1）是的一个子加群; （2）, 且.定义4.2[1] 设是环的一个同余, 对集族, 其中定义为, 在上定义一个运算“”, “”, ; . 则有定理4.3[1] 关于运算“”, “”构成一个环. □定义4.4[1] 设是环的一个同余, 则我们把称之为的商环.下面我们来讨论一下环上同余与理想之间的关系.定理4.5 设为一个环, 则有下面结论: （1）若为环的一个理想, 那么有为环的一个同余; （2）若是环的一个同余, 则（为加法零元）为环的一个理想.证明: （1）首先证明是一个等价关系: a．（自反性）由于为环的一个子环, 所以有, , 即;b. （对称性）, 若, 则,由于为环的一个子环, 所以, 所以;c. （传递性）, 若, , 即, 使得, , 由于为环的一个子环, 所以, 则.下面只需再证明是相容的即可: , 若, , 即, 使得, . 由于为环的一个理想, 有, 所以, 使得.则, 即.而, 由于是理想，所以, .则, 即.所以是环的一个同余.（2） 由于为环的一个同余, 由定义4.4可知, 为的商环, 特别对于这个集合, 由于是环的加法零元，所以我们有:及,故关于的两个运算封闭. , 则由得, , 即, 所以. 这样便证明了是环的一个子加群. 再由, 有.故知是环的一个理想. □定理4.6 设是一个环, 表示上所有理想组成的集合, 表示上所有同余组成的集合, 则与之前存在一个双射. 证明: 首先我们定义:(1) ;(2) ;显然, 由定理4.5可知, 是良好定义的. 则要证与之间存在一个双射, 只须证, .（1）要证, 只须证, 即证, 即.而.所以, 即.（2）要证, 只须证, 即证, 即.a. , 由于, 所以有, 即.b. 有, 即, 所以, 即.所以, 即. □所以，由定理4.5及定理4.6可知：环上所有同余与所有理想分别组成的集合之间存在双射，即有一一对应的关系. 五、模上的同余与子结构定义5.1[8] 设为有恒等元的环, 是一个加法交换群, 定义一个从到的倍数乘法“﹒”: .且“﹒”满足: （1） , （2） , （3） , （4） , 其中, , 那么就称做成环上的一个左模．类似的也可以定义右-模. 下面我们只讨论左模上同余与子结构的对应关系, 且左模简称为模.定义5.2[8] 设是一个-模, 是的非空子集, 如果关于的加法和倍数乘法本身也做成上的模, 则称是的一个子模．类似与前面讨论，我们有设是一个模, 是的非空子集, 且是上的一个等价关系, 若, 有, , 则称为的一个同余. 设为任意一个模, 是任意的一个子模. 于是, 作为交换群来看, 自然是的一个关于加法的。