一、填空题1.已知由方程确定,则 .解:类题:已知由方程确定,则 .2.函数在点处沿梯度方向的方向导数为 .解:∵,∴在点处沿梯度方向的方向导数为类题:函数在点处沿梯度方向的方向导数为 .3.曲面在点处的切平面方程为 .解:∵曲面的法向量为,其中.∴在点处的切平面方程为类题:曲线在点处的切线方程为 .4.交换二次积分的积分次序,得 .解:画图知积分区域为,故.类题:交换二次积分的积分次序,得 .5.设是以,,为顶点的三角形边界,则曲线积分 .解:画图类题:设平面曲线为圆周位于第一象限部分,则曲线积分 .6.设为上半球,则曲面积分 .解:..类题:设为平面在第一卦限中的部分,则曲面积分 .7.幂级数的收敛域为 .解:∵,时,原级数收敛,时,原级数收敛.∴收敛域为.类题:幂级数的收敛域为 .8.二阶齐次线性微分方程的通解为 .解:特征方程的根为,故通解为.类题:二阶齐次线性微分方程的通解为 .9.设则其以为周期的傅里叶级数在 处收敛于 .解:由收敛定理知,在处收敛于.二、选择题1.曲面对应于点与轴正向相交成锐角的法向量可取为 ( )(A) ; (B); (C) ; (D).解:因与轴正向相交成锐角,故,,选(D).类题:曲面在点处的切平面方程( )(A) ; (B); (C) ; (D).2.设是上的连续函数,若:,而:,,,则下列式子成立的是( ).(A); (B); (C); (D).解:因4个选项的被积函数关于都为偶函数,所以二重积分等于第一象限积分的4倍.选(C).3.函数在点处偏导数存在是函数在点处可微的 ( A )(A)必要条件; (B)充分条件; (C)充要条件; (D)既非充分也非必要条件. 4.下列4个级数中,条件收敛的是( ).(A); (B) ; (C) ; (D) .解:为的级数,故发散.是交错级数满足莱布尼茨定理的条件,收敛.根据条件收敛的定义,综上有此级数条件收敛.5.设,其中,则等于( C ). (A); (B); (C); (D).解:由的表达式知道,此是以为周期的的余弦级数的和,从而有.6.设函数在单连通区域内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在内与路径无关的充要条件是在内恒有( B )(A); (B); (C); (D).三、解答题1.求二元函数的极值,并说明是极大值还是极小值.解:由为唯一驻点.又由于所以在处取得极小值为.类题:①求二元函数的极值.解:由函数中呈轮换对称性,知必有.为驻点.当时,由可知不取极值当时,由可知在点函数取得极大值为②求函数在下的最小值.2.设函数,其中具有二阶连续偏导数,求,.解:,类题:①设函数,其中具有二阶连续偏导数,求,.解:,②已知,求和.3.计算二重积分,其中是由围成的闭区域.解:画图,:把二重积分转化为二次积分得:.类题:计算二重积分,其中是由曲线围成的闭区域.解:(画图)4.将函数展成的幂级数,并写出可展区间. 解:,,即,.类题:①将函数展成的幂级数,并写出可展区间.解:,故.②求到含项的泰勒展开式.③展开为的幂级数.5.求微分方程满足初始条件的特解. 解:通解 ,又由,得,故特解.类题:①求微分方程满足初始条件的特解.解:原方程,故通解,又得,故特解②设函数连续,且满足,求.6.求微分方程的通解.解:由于特征方程的根为,故对应的齐次方程的通解为,故微分方程的通解.类题:①求微分方程的通解.解:由于特征方程的根为,故对应的齐次方程的通解为,故微分方程的通解.②求微分方程的通解.解:.又由解得,故故微分方程的通解.7.计算曲线积分，其中是圆上从到点的一段．解:画图,由于,故补与形成封闭曲线绕逆时针方向用格林公式得类题:①计算曲线积分，其中是圆上从点沿上半圆周到点的一段．解:画图,补直线与曲线构成封闭曲线绕逆时针方向用格林公式得故②计算,其中是上半球面与圆柱面的交线从轴正向看去按逆时针方向.8.计算,其中是由曲面与所围立体的表面外侧. 解:用高斯公式得(画图)类题:计算,其中是由曲面与所围立体的表面外侧.9.求的收敛域及和函数.10.求积分的值,其中是由平面,以及三个坐标平面所围成的区域.四、证明题1.已知曲线为,方向为逆时针方向,证明:曲线积分.解:(画图)容易验证除了点外.,故补一个圆按顺时针方向,其中为足够小的正数使此圆包含在所围区域内,用格林公式得类题:求曲线积分之值,其中为单位圆的正向.2.证明:.解:(画图)。