第二章：实数 本章的知识网络结构：知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：因此：4. 当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；5. 当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：6. 当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身3）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，有意义5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】： （1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为02）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A．1的立方根是； B．；（C）、的平方根是； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A、 B、 C、 D、（3）的算术平方根是 4）若有意义，则___________5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围6）已知：A=是的算术平方根，B=是的立方根求A－B的平方根7）（提高题）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分求x － y的值.【立方根】 （1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根记做：，读作，3次根号a注意：这里的3表示的是开根的次数一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
例3.（1）64的立方根是 （2）若，则b等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④其中正确的有 （ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【无理数】 （1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。
填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个A 2 B 3 C 4 D 5 【实数】（1）有理数与无理数统称为实数在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-12）实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小在数轴上，右边的数总是大于左边的数）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算运算法则和运算顺序与有理数的一致例5.（1）下列说法正确的是（ ）；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1和2之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。
2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )b0a A、 B、 C、 D、（3）比较大小(填“>”或“<”).3 ， ， ， ，（4）数 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. （5）将下列各数：，用“＜”连接起来；______________________________________6）若，且，则：= 7）计算： （8）已知：，求代数式的值6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ① ②③，……（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证 课后练习重点考查题型：一、考查题型：1． －1的相反数的倒数是 2． 已知｜a+3|+＝0，则实数（a+b）的相反数 3． 数－3．14与－Л的大小关系是 4． 和数轴上的点成一一对应关系的是 5． 和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是 6． 在实数中Л,－,0, ,－3．14, 无理数有（ ）（A）1 个 （B）2个 （C）3个 （D）4个7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）（A）非负数 （B）非正数 （C）负数 （D）正数8．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（ ）（A）x＋3 （B）－x－3 （C）－x＋3 （D）x－39．下列说法正确是（ ）（A） 有理数都是实数 （B）实数都是有理数（B） 带根号的数都是无理数 （D）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1） c-b和d-a （2） bc和ad 二、考点训练：*1．判断题：（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（ ）（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（ ）（3）两个无理数之和一定是无理数；（ ）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（ ）（5）任何有理数都有倒数；（ ） （6）最小的负数是－1；（ ）（7）a的相反数的绝对值是它本身；（ ）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（ ）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－, －,, (－)0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中 无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝ 整数集合｛ ｝ 非负数集合｛ ｝*3．已知1
7．已知＝0，求ａ＋ｂ= 三、解题指导： 1．下列语句正确的是（ ）（A）无尽小数都是无理数 （B）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数 （D）不带拫号的数一定不是无理数2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）（A）整数 （B）有理数 （C）无理数 （D）实数3．零是（ ）（A） 最小的有理数 （B）绝对值最小的实数 （C）最小的自然数 （D）最小的整数4.如果a是实数，下列四种说法：（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3*5．比较下列各组数的大小：（1） (2) (3)a0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。
10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12．把下列语句译成式子：（1）a是负数 ；（2）a、b两数异号 ；（3）a、b互为相反数 ；（4）a、b互为倒数 ；(5)x与y的平方和是非负数 ；（6）c、d两数中至少有一个为零 ；（7）a、b两数均不为0 13.数轴上作出表示，，－的点四．独立训练：1．0的相反数是 ，3－л的相反数是 ， 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，0 的绝对值是 ，－的倒数是 2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 A表示的数是－，且AB＝，则点B表示的数是 3 －,л,(1－)º,－,0．1313…,2cos60º, －3－1 ,1．101001000… (两1之间依次多一个0),中无理数有 ，整数有 ，负数有 4. 若a的相反数是27，则｜a|＝ 。