椭球面面积的近似计算专题摘要 ：利用曲面面积计算公式和函数幂级数展开的麦克劳林公式， 给出椭球面表面积的近似计算公式我们知道半径为 R 的球的表面积为 4 R 2 ，但椭球的表面积如果通过曲面面积计算公式来计算， 其积分为第二类椭圆积分，不能通过重积分方法计算出表面积值下面给出近似计算公式设椭球面方程为x2y 2z21,c b a ，（ 1）a2b 2c 2由对称性我们只需求出第一卦限部分的表面积再乘8 即可由曲面面积计算公式[40] S1(z )2(z) 2 dxdy ，（ 2）Dxy其中 D{( x, y) : x2y 21} ， zc 1x 2y 2于是a2b2a 2b 2zcxzcya2，b2x1x 2y 2yx2y2b21b2a 2a2所以x 2y2c22c221(z2z)21a 2b2a4 xb 4 y，)(x2y 2xy1a2b 2设 xra cos, yrb sin, 0r1, 0，则上述广义极坐标变换的Jacobi 行列式为 Jabr21 r2c2r2(cos2sin 2)1(z2z2a2b2)()1r 2xy1r 2( c ) 2 r 2 (1ecos2)b1r 2，其中 eb212。
从而a12r 2 [( c ) 2 (1S811ecos2)1]abrdrd ，（ 3）00 1r 2b由于有幂级数展式1 x 11 x1x 21 3x3x [ 1, 1] ，所以当 x 很小时有22 42 461x11 x ，（ 4）2因为 0 e 1,所以 0ecos21 (0) ，因此r 2 [( c ) 2 (121ecos2)1]1根据（ 4）式有b1r 2 [( c ) 2 (1 ecos2) 1]11 r 2 [( c) 2 (1ecos2 ) 1] ，（ 4）b2b所以1 2r1r 2 [( c) 2 (1ecos2 )S 8ab{ 11]} drd0 01 r 22b21rr 31c228ab1 r 2[()(1ecos ) 1]dr d001r 2 2b21 [( c ) 2 (1 ecos2 ) 1]} d8ab {10 3 b8ab2[21(c ) 21( c) 2 e1(c )2 ecos 2 ]d033b6b6b8ab[ 1c2( 1212 )]312ab不难看出，当 ab c 时， S4a2，即为球的表面积。
此方法也适用于求椭圆周长的近似值。