近世代数研究对象是具有代数运算的集合摘要：近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系.群就是具有一个代数运算的代数系.群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用.本文简要探讨了群论的一些常用知识并介绍了群论在其它学科的一些简单应用.关键词：群论：群的定义；特殊群；群的同态与同构.Abstract： The main object of study recently algebra is a collection of algebra operations, such as the collection of algebra. It has a group of arithmetic of algebra. The group is the most ancient of algebra theory, one of the most abundant branch path is based. The algebra, Now it has developed into a rich content, widely used in the branch of mathematics, physics and mechanics, chemical, biological, computer science, etc are more and more widely. This paper discusses some of the common knowledge and QunLun QunLun introduced in other disciplines of some simple application.Key words: the definition of group；Special group；The homomorphism and isomorphism of；application目 录摘要 (1)0引言 (1)1群论的起源 (1)2群论的初步探讨 (3) 2.1 群的性质及基本定义 (4) 2.1.1群的定义及等价形式 (5)2.1.2群的基本性质 (7) 2.2 子群 (3) 2.3 几个常见的特殊群类 (4) 2.3.1 循环群 (5)2.3.2 变换群 (7)2.3.3 置换群 (7)3群的进一步讨论 (3) 3.1 子群的陪集 (7) 3.2正规子群与商群 (7) 3.3群的同态与同构 (7) 3.3.1群的同态与同构的基本性质 (8) 3.3.2 群同态与同构基本定理 (9)4群论应用举例 (19)5总结 (19)参考文献 (19)Abstract (20)第 1 页 共 16 页引言近世代数以具有代数运算的集合作为主要研究对象，研究的主要是抽象代数系统的性质与结构．近世代数的基本概念、理论和方法，是每一个数学工作者所必须具备的基本素养之一，而群论是近世代数的一个重要的分支，因此群论中的许多思想方法有着重要的意义．它在现代很多领域中都有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些复杂的问题．本文简要介绍群论中的一些基本知识，最后又举了一些与群的应用有关的实际问题．1群论的起源群的概念在数学史上出现在19世纪的上半叶，但是其思想的萌芽在古希腊欧几里得（Euclid，约公元前330～公元前275）的《几何原本》中就已经出现了.此后，群的概念以运动和变换作为基础潜在地形成了.到了19世纪后期，它才正式出现，不久就在整个数学中占有重要的地位，成为现代数学的基础之一.有意识地开辟通向群的概念的道路始于18世纪末，当时，拉格朗日（J.L.Lagrange1736～1813）、范德蒙德（A.T.Vandermonde，1735～1796）、鲁菲尼（P.Ruffini，1765～1822）等试图求出高次代数方程的代数解法，由于研究方程诸根之间的置换而注意到了群的概念.基于这种思考方式，阿贝尔（N.H.Abel，1802～1829）证明了5次以上的一般的代数方程没有根式解.而置换群与代数方程之间的关系的完全描述是由伽罗瓦（E.Galois，1811～1832）在1830年左右做出的（现称为伽罗瓦理论），这一工作后来在若尔当（C.Jordan，1838～1921）的名著《置换和代数方程专论》中得到了很好的介绍和发展.置换群是最终形成抽象群的第一个主要来源.群的思想也以独立的方式产生于几何学.19世纪中叶，几何学的研究重点逐渐转移到研究几何图形的变换以及它们的分类上.这种研究被默比乌斯（A.Mobius，1790～1868）广泛地进行.以凯莱（A.Cayley，1821～1895）为首的不变量理论的英国学派给出了几何学的更为系统的分类：凯莱明确地使用了“群”这个术语.这个发展的最后阶段是克莱因（C.F.Klein，1849～1925）在1872年提出了著名的“埃尔兰根纲领”，他指出：几何的分类可以通过变换群来实现.数论是群的概念的第三个来源.早在1761年，欧拉（L.Euler，1707～1783）就使用了同余式和它们分成的同余类，这在群论的语言中就意味着把一个群分解成子群的陪集.高斯（C.F.Gauss，1777～1855）则研究了分圆方程，并且实际上确定了它们的伽罗瓦群的子群.戴德金（J.W.R.Dedekind，1831～1916）于1858年和克罗内克（L.Kronecker，1823～1891）于1870年在其代数数论的研究中也引入了有限交换群以至有限群.到了19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出了抽象群论的公理系统，并大约在1890年得到公认.2群论的初步探讨2.1群的定义及基本性质2.1.1群的定义及等价形式定义1 设是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：Ⅰ.结合律成立，即对中任意元素有 ； Ⅱ. 中有元素，叫做的左单位元，它对中每个元素都有 ； Ⅲ.对中每个元素，在中都有元素，叫做的左逆元，使 ；则称对代数运算作成一个群.群定义的等价形式：定义2 设是一个非空集合.如果它有一个代数运算满足结合律，则称是一个半群.半群如果有幺元素，并且每个元素均可逆，则叫做群.定理1 设是一个半群，则作成群的充分与必要条件是：1） 有右单位元：即对中任意元素都有 ；2） 中每个元素都有右逆元： .定理2 设是一个半群，则作成群的充要条件是，对中任意元素方程 在中都有解.2.1.2群的基本性质:定理3 群的元素的左逆元也是的一个右逆元，即有 .定理4 群的左单位元也是的一个右单位元，即对群中任意元素均有 定理5 群的单位元及每个元素的逆元都是惟一的.推论 在群中消去律成立，即 ， .2.2子群子群的概念是群论中一个基本概念，群论的许多内容不仅在不同程度上和子群有联系，而且利用子群来研究群，也是研究群的重要方法之一.定义1 设是一个群，是的一个非空集合.如果对于的乘法也作成一个群，则称为群的一个子群，记为.当是群的真子群时，记为.群的一个子集是不是作成一个子群，除了根据子群的定义外，还有一些判定方法：定理 群的一个非空子集作成子群的充分与必要条件是：1）；2） 定理 群的非空子集作成子群的充分与必要条件是： .群的有限子集作成子群的充分与必要条件是，对的乘法封闭，即 推论 群的非空子集作成子群的充分与必要条件是： . 推论 群的一个非空子集作成子群的充分与必要条件是： 群的非空有限子集作成子群的充分与必要条件是： .2.3几个常见的特殊群类2.3.1循环群 循环群是最简单但很重要的一类群，也是一种已经被完全解决了的一类群，它们可以由一个元素生成.这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下这种群有多少个和它们子群的状况等等，都完全研究清楚了.定义 如果群可以由一个元素生成，即＝〈〉，则称为由生成的一个循环群，并称为的一个生成元.于是〈〉是由一切形如 (是任意整数)的元素作成的群，亦即 〈〉＝若群的代数运算用加号表示时，则指数应改成倍数，从而由生成的循环群应表为 〈〉＝{…，–3，–2，–，0，，2，3，…﹜.由于群间的同构关系具有反身性、对称性和传递性，故凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构.这样，抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群和次单位根群，这里是任意正整数.循环群的子群定理1 循环群的子群仍为循环群.定理2 无限循环群有无限多个子群；当〈〉为阶循环群时，对的每正因数，〈〉有且只有一个阶子群，这个子群就是推论 阶循环群有且仅有个子群.2.3.2变换群变换群是一种同任何群都有密切联系，从而具有广泛意义的群.定义 设是一个非空集合.则由的若干个变换关于变换的乘法所作成的群，称为的一个变换群；由的若干个双射变换关于变换的乘法作成的群，称为的一个双射变换群；由的若干个非双射变换关于变换的乘法作成的群，称为的一个非双射变换群. 为任一非空集合，为由的全体双射变换作成的集合，则关于变换的乘法作成一个群，并称集合的双射变换群为上的对称群.若，其上的对称群用表示，称为次对称群，是一个阶为的有限群.显然，的任何双射变换群都是上对称群的一个子群，即上的对称群是的最大的双射变换群.若是非空集合的一个变换群，则是的一个双射变换群的充要条件是在中含有的单（满）射变换.由此可知或是的双射变换群，或是的非双射变换群，这就是说在的任意一个变换群中，不可能既含有的双射变换又含有的非双射变换.抽象群同变换群之间的联系可由下述定理说明.定理 （A.Cayley，1821～1895）任何群都同一个（双射）变换群同构.由这个定理可得：推论 任何阶有限群都同次对称群的一个子群同构.以上的定理和推论表明，任何一个抽象群都可以找到一个具体的群与它同构.2.3.3置换群 定义 次对称群的任意一个子群，都叫做一个次置换群.简称置换群.置换群是群论中很重要的一类群，群论最早就是从研究置换群开始的.利用这种群，伽罗瓦成功地解决了代数方程是否可用根式求解的问题.伽罗瓦在这方面的工作，现在已发展成为代数学中一种专门的理论—伽罗瓦理论.置换群之所以重要，不仅因为它是最早研究的一类群，而且它是一类重要的非交换群，特别是由以上我们知道，每个有限的抽象群都与一个置换群同构.群论的产生最早源于对代数方程求根的研究。