12.2 三角形全等的判定基本知识 基本技能 (1)边边边：三边对应相等的两个三角形全等(能够简写成“边边边”或“SSS”)．这个判定方法告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也就随之确定，这就是三角形的稳定性，它在实际生活中应用非常广泛．(2)书写格式：①先写出所要判定的两个三角形；②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出；③得出结论：两个三角形全等．如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．警误区 书写判定两个三角形全等的条件 在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量．如上图，等号左边表示△ABC的量，等号右边表示△A′B′C′的量．符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”，在以后的推理中，这样书写简捷、方便．要注意它们的区别．(3)作一个角等于已知角．已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.作法：如上图所示，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.【例1】 如图所示，已知AB＝DC，AC＝DB，求证：△ABC≌△DCB.分析：已知两边对应相等，由图形可知BC为两个三角形的公共边，所以△ABC≌△DCB(SSS)．证明：在△ABC和△DCB中，∵∴△ABC≌△DCB(SSS)．2．三角形全等的判定方法二：边角边(SAS)(1)边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(能够简写成“边角边”或“SAS”)．(2)书写格式：如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∴∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．警误区 不能用“SSA”判定三角形全等 有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“SSA”作为三角形全等的判定．如图，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD两条边对应相等，并且边AC，AD所对的角∠B=∠B，很显然，△ABC和△ABD不全等．(3)注意：①在“边角边”这个判定方法中，包含了边和角两种元素，且角是两边的夹角，而不是其中一边的对角．②为了避免“SAS”与“SSA”(两边不夹角)混淆，在应用该方法时，要观察图形确定三个条件，按“边→角→边”的顺序排列，并按此顺序书写．【例2】 如图，两个透明三角形纸片叠放到桌面上，已知∠ACE＝∠FCB，AC＝EC，BC＝FC，则△ABC与△EFC全等吗？请说明理由．解：△ABC≌△EFC.理由：∵∠ACE＝∠FCB，∴∠ACE＋∠ECB＝∠FCB＋∠ECB，即∠ACB＝∠ECF.在△ABC和△EFC中，∵∴△ABC≌△EFC(SAS)．3．三角形全等的判定方法三、四：角边角(ASA)及角角边(AAS)(1)角边角：①内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(能够简写成“角边角”或“ASA”)．②书写格式：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．(2)角角边：①内容：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(能够简写成“角角边”或“AAS”)．②书写格式：如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)．(3)“角边角”与“角角边”的关系：由三角形的内角和定理知，只要两个三角形的两个角对应相等，则其第三个角也对应相等，所以两角及一边对应相等的两个三角形一定全等．无论这个边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可判定两个三角形全等．(4)注意：①在使用“ASA”时，要从图形上确定是按“角→边→角”的顺序排列条件；②在使用“AAS”时，要从图形上确定是按“角→角→边”的顺序排列条件．警误区 不能用“AAA”判定三角形全等有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“AAA”作为三角形全等的判定．如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，很显然，△ABC和△A′B′C′不全等．【例3】 (一题多证)已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝EF.求证：AE＝CE.证法一：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠F.在△ADE和△CFE中，∵∴△ADE≌△CFE(ASA)．∴AE＝CE.证法二：∵AB∥FC，∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F.在△ADE和△CFE中，∵∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AE＝CE.4．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边(HL)(1)内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(能够简写成“斜边、直角边”或“HL”)．(2)书写格式：如下图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∵∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)．警误区 “HL”适用的前提条件 (1)“HL”只适合直角三角形全等的判定，不适合一般三角形全等的判定；(2)直角三角形全等的判定既能够用“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”，又能够用“HL”．【例4】 如图，AD⊥CD，AB⊥CB，垂足分别是D，B，且AD＝AB，求证：AC平分∠DCB.证明：∵AD⊥CD，AB⊥CB，∴∠D与∠B都是直角．在Rt△ADC和Rt△ABC中，∵∴Rt△ADC≌Rt△ABC(HL)．∴∠ACD＝∠ACB，即AC平分∠DCB.基本方法 基本技能5．判定两个三角形全等的常用思路判定两个三角形全等的方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种，其中“HL”只适合于直角三角形．在具体使用过程中，要认真分析已知条件，挖掘题中隐含条件，有目的地选择三角形全等的条件，一般可按下面的思路实行：(1)已知两边(2)已知一边一角(3)已知两角6．全等三角形判定和性质的综合使用全等三角形的性质是对应角相等、对应边相等，全等三角形的判定是“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”．在说明线段相等或角相等时，常常需要综合使用全等三角形的性质和判定．说明两条线段或两个角相等时，可考虑两条线段或两个角所在的两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等时，能够由已知条件先推出其他的三角形全等，再由全等三角形的性质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件．【例5】 如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠1＝∠2，AC＝AB，求证：△AEB≌△AFC.分析：已知∠E＝∠F＝90°，AC＝AB，即已知一边及一角，并且这边是角的对边，根据判定两个三角形全等的常用思路再找另一角即可，由∠1＝∠2，可得∠EAB＝∠FAC，再根据全等的判定方法AAS可证△AEB≌△AFC.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAC＝∠2＋∠BAC，即∠EAB＝∠FAC.在△AEB和△AFC中，∵∴△AEB≌△AFC(AAS)．【例6】 如图1，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF，求证：EB∥CF.图1证明：如图2，∵AB∥CD，∴∠4＝∠3.在△OAB和△ODC中，∵图2∴△OAB≌△ODC(ASA)．∴OB＝OC.又∵AE＝DF，OA＝OD，∴OA＋AE＝OD＋DF，即OE＝OF.在△BOE和△COF中，∵∴△BOE≌△COF(SAS)．∴∠E＝∠F.∴EB∥CF.思维拓展 创新应用7．全等三角形判定中的探究性问题动态探究型问题一般是指几何图形的运动，包括点动(点上运动)、线动(线的平移、对称、旋转)、面动〔平面几何图形的平移、对称(翻折)、旋转〕．这类问题具有灵活性、多变性，常融入三角形，综合使用三角形全等知识．但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点能够形成各种图形，所以图形的运动其实是无数个点的运动．点动带动图形动，图形动引起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其宗，解决问题要抓住一些关键点即可．对于运动变化过程中的探索性问题的求解，应动中取静，先取某一特定时刻物体的状况实行探究，获得结论，再由特殊推知其一般结论，并使用几何知识(全等三角形的判定)加以证明． 【例7】 (科学探究题)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝8 cm，点D为AB的中点．如果点P段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q段CA上由C点向A点运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？解：(1)∵t＝1 s，∴BP＝CQ＝3×1＝3(cm)．∵AB＝10 cm，点D为AB的中点，∴BD＝5 cm.又∵PC＝BC－BP，BC＝8 cm，∴PC＝8－3＝5(cm)．∴PC＝BD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△BPD≌△CQP.(2)∵vP≠vQ，∴BP≠CQ.又∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，则BP＝PC＝4 cm，CQ＝BD＝5 cm，∴点P，点Q运动的时间t＝＝(s)．∴vQ＝＝＝(cm/s)．。