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1、初中生几何证明思维水平分析南宁市第十三中学 宁 冬摘 要初中阶段，几何证明题目具有复杂性和多变性以及抽象性，普遍被初中生认为较难学。调查中我们了解到初中生在几何题目论证的过程中受解题方法的影响，思维水平各不相同。根据调查结果的反馈，各个层次的学生在这次几何证明测试中思维水平存在差异。关键词 初中生；几何证明；思维1 关于几何证明思维的研究1.1 思维的起源二十世纪四十年代，波利亚怎样解题提出了教会学生思考的教育主张。随着心理学的发展，人们开始对思维进行多方位立体化研究。1959年，美国心理学家吉尔福特给思维划分维度，分别为对问题的敏感性、流畅性、灵活性和细致性【1】。此后，世界各地掀起了一股研
2、究思维的热潮，中西方国家展开了对思维的大量研究。1.2 几何证明思维的研究刘京莉曾在她的研究中指出，几何证明题目信息的复杂性以及隐含性容易造成学生分析思路和混乱【2】。东北师范大学马海燕通过测试表明，大部分学生通过特殊图形来证明命题，不理解命题具有一般性【3】。李可荣他的论文中表示，很多学生对于需要添加辅助线的题目感到无从下手，学生的联想能力薄弱【4】。2 研究的意义几何主要探究图形中各种边角面积之间的必然联系。几何证明题目具有复杂性和多变性以及抽象性。基于心理学角度对思维进行了长期的探讨与分析，我们以林崇德在思维心理学研究的几点回顾一文中提出的思维总结为依据【5】，对初中生的几何证明思维水平
3、分析，进而总结出相关的教学启示。3 研究方法3.1 被试对象的选择 被试对象从广西钦州市的一所公办中学八年级的两个班的119名学生中选择。本次研究中把这119名学生划分成优等生、中等生和差生三个等级。其中优生是在本学期的几何证明测试三次成绩保持排名前25名的学生，中等生成绩排名在于25至65名之间，排名65名之后的则为差生。为了方便调查研究的数据分析，我们选取了两个班各个等级中相差不大的人数，其中优生20人，中等生32人，差生45人，共97人参与到本次调查中。3.2 调查工具 本研究结合问卷调研与访谈两种方式进行调查。此次调查的用的问卷总共有4道几何大题，知识点主要出自新人教版八年级上册数学第
4、十一章至十三章，主要考察学生的知识、技能以及策略方面的内容。本套调查问卷满足新课程标准注重培养学生思维的要求，适用于初中生几何证明学习的思维水平的调查。3.3 调查过程钦州市的这所公办中学初二的两个班测试时间均为45分钟。本次研究由相关研究人员组织测试，并且测试后在各科任老师积极协助与配合下对被试对象进行访谈。4 研究结果与分析4.1 优生的思维的深刻性水平比中等生和差生高以往较多的研究界定了思维的深刻性，认为在几何证明的学习过程中，思维的深刻性水平主要表现在学习者的解读所刻画的相关几何概念属性，并且能够抓住这些几何概念及定理的内在联系。为了探究在数学几何证明解题过程中不同层次的学生在思维的深
5、刻性水平的差异，本研究特别选取了考察八年级上册中典型概念知识点等腰三形的判定与“三线合一”性质的题目。CBAD问题1 .如果一个三角形一边的中线和这条边上的高重合，则这个三角形是 （ ）A 等边三角形 B 等腰三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形测试人员对最快选择等腰三角形这个答案的学生提问：“从中线和这条边上的高重合这个条件中你能得到什么信息？”部分学生回答:“马上联想到等腰三角形的三线合一的性质，就会选择等腰三角形。”还有学生表示，小学见过锐角三角形和钝角三角形，所以就选择了C或D答案。在几何证明思维水平测试中，被试学生在解决这道题目的方法表现得参差不齐。其中占39.6的是由题意联想到等
6、腰三角形的三线合一的性质而选择的，有15.5的中等生认为必须在三条边全部都满足条件才可以。而真正根据等腰三角形的概念来论证的学生中，优等生占51.1，中等生占31.8，差生占17.1。综上，可以知道这部分的学生在数学概念的学习中理解能力不强，思维的深刻性水平处于较低的状态。4.2 各个层次的初中生思维的抽象性水平都不高 在数学思维研究方面，朱晨菲提出她的界定标准，数学思维的抽象性是在问题表面提取一些信息，经过分析、概括以及提炼后得出一些认识或结论和深层的内涵【6】。本研究认为，最能体现初中生求解几何证明思维的抽象性水平是题意分析环节。在此环节中，学习者需要从几何证明证明题目提取图形中各种边角面
7、积之间的信息，加以分析、概括以及提炼，挖掘更深层的信息。 ABEFDC问题2. 如图，已知AB=CD,AD=BC,E,F在DB上，DF=BE,若EAD=90,ADB=30,则DFC的度数为( ) A. 150 B. 60 C. 90 D. 120在此次几何证明的测试中，约有31.8的优生，43.2的中等生以及63.5的差生选择了直接拿出量器出来度量所求角的大小。部分学生表示，不知道题目中给出的条件BF=BE有什么用，感到无从下手。也有学生提到，已经知道要通过三角形的全等来求角，但是没注意到所求角DFC和BFC的关系。研究人员在测试后对学生进行访谈时对学生提出问题：给出的条件BF=BE有什么用？
8、这道题应该怎么求出这个角?部分访谈内容如下：郡：直接拿出量角器出来度量就可以了，求解的过程太麻烦。亮：粗心！已经知道证明AED与CFB全等，但是忽略了DFC和BFC互补这个隐含的条件。俐：猜想可能要证明三角形全等，但是不懂条件BF=BE有什么用在这道题目中，被试的所有学生中，就有51.9的学生不能提取图形中的信息，对题目信息的分析以及条件的转化存在困惑。由此了解到很多初中生想通过直观测量得到几何结论，对于怎样分析几何题目以及挖掘隐含条件进行几何证明还没有形成相关的逻辑推理意识，说明各个层次的学生思维的抽象性水平都不高。 4.3 中等生和差生思维的条理性水平低于优生 辽宁师范大学李莉在数学思维的
9、特点研究中认为，数学思维的条理性指的是思维具有极高的逻辑性【7】。在关于初中生思维的条理性水平测试中，我们选取了一道关于几何图形性质和判定运用的证明题，探究三个不同层次的学生思维和条理性水平。问题3 如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB， DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是BAC的角平分线。 AEDFCB 本题中，优生的错误率为13.2，而中等生和差生的错误率分别为33.1和43.8。部分学生表示，先证明BAD=CAD,若能证明得出，就知道AD恰好平分BAC。74.4的优生表示第一反应就是角平分线的判定方法，并且下一步就想找到点到两边的距离。具有相同思路的中等生只占33
10、.4，而差生却只有17.2。 相关研究人员在测试后对被试的学生提问，部分问题记录如下： 问题1. 要想证明AD是BAC的角平分线要具备什么条件？ 问题2. D点到BAC两边的距离指的是哪些线段？ 问题3. 要证明DE与DF相等要通过转化成证明什么？ 问题4. 从题意我们可以得到什么条件呢？ 问题5.可以用什么方法来判定EBD和FCD全等？我们把以上问题整理成知识结构图，如下所示： 要证AD平分BAC DE=DF EBDFCD（HL）大多数优生学生表示，知道要证明点D到两边的距离相等，28.8的中等生在接受访谈时回答知道要用角平分线的判定方法但是不知道应该通过什么来证明得出结论，43.3的差生则
11、表示没有形成提问推理的意识。分析认为，这部分的学生在思考与总结论证中没能明确层次结构的过程，未能理清明确问题链各个层次的逻辑关系，说明中等生和差生思维的条理性水平低于优生。4.4 不同层次的学生在思维的灵活性水平测试中表现较低 在以往思维的灵活性的研究中，张祎曾提到，思维的灵活性指的是学习者在学习过程中灵活转换思维来解决具体问题【9】。最能考察学习者思维灵活性的则是需要添加辅助线的几何证明题目了，我们选取了如下题目：ACBD问题4 如图，在ABC中，B，C的外角平分线将交于点D，求证：AD是BAC的平分线。 在本题的求解过程中，被试的97名学生中，仅有3人想到添加辅助线。本次调查了解到，大部分
12、的学生都只想到从题目中找条件证明角平分线，最多也只是想到作出点D到BAC的垂线。其中大多数的学生在作出如图的垂线后，就试图通过证明EAD与GAD这两个三角形相等，想要得出DE=DG这个结论，但发现条件不足从而无法证明下去。ACBDEG 访谈中，当被问及题目中给出的条件“B，C的外角平分线将交于点D”有什么用时，有学生就说到：“感觉这个条件和角平分线的证明过程没什么联系，解题的过程中就想到只要证明DE=DG就能得出结论了。还有部分的学生说到，看到角平分线时想到要作点到两边的垂线，往下就不懂了想到添加辅助线，也就是作外角EBC, GCB的角平分线的学生很少。说明大部分的学生都受到了思维定势的影响，
13、认为一定要证明EAD与GAD才能够得到DE=DG，而没想到根据角平分线的性质以及等量代换的性质也可以得到DE=DG的这个方法。综上可见不同层次的学生在思维的灵活性水平测试中表现较低。 5 讨论 根据调查结果反馈，各个层次的学生在这次几何证明测试中思维水平存在差异。其中，优生的思维的深刻性水平比中等生和差生高；各个层次的初中生思维的抽象性水平都不高；中等生和差生思维的条理性水平低于优生，不同层次的学生在思维的灵活性水平测试中表现较低。6 建议6.1 提高学生概念定义的理解能力，培养学生深刻性思维由于在几何论证的相关概念以及定义和性质判定等多而繁杂，极容易让刚刚接触抽象几何的初中生混淆。初中生在遇
14、到涉及在正面与对立面两方面的问题时，容易只回答出正面而忽略了对立面。所以教师在教学过程中应该注重培养学生从全面、整体的角度出发的深刻性思维【】。6.2 让学生养成良好的分析题目的习惯，培养学生抽象性思维初中生在分析几何证明的题目时，由于生疏于转化题目的文字、图像、符号语言的转化等抽象思维的局限性，对于题目中给出的条件有时不能快捷地提取。针对此情况，教师在教学过程中要注意引导学生快速提取题目给出的条件，养成良好的分析题目的习惯。6.3 重视论证思路和归纳总结，培养学生条理性思维南京师范大学喻平根据数学解题心理的研究提出，数学解题以“问题”为探究的核心，解题过程是根据“问题”展开的【8】。形成问题链则是论证思路和归纳总结的关键，在
