初等几何变换（一） 基础知识：平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果我们称集合M到自身的一一对应为一个变换初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换一、 平移变换1． 定义 设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X'，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换记为XX'，图形FF' 2．主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等二、 轴对称变换1． 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X'，使得X与X'关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换记为XX'，图形FF' 2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
例题：【例1】 P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB求证：∠PBA=∠PDA例2】 如图左：线段AA′,BB′,CC′交于点O，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°图2求证：Ｓ△AOB'+Ｓ△BOC'+Ｓ△COA'<【例3】 图3在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形 【例4】 图4P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N求证：MP=NP蝴蝶定理）【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小图6【例6】△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形求证：PQ+QR+RP>2AD。