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1、群及其简单性质摘要：首先本文给出群的定义，继而讨论群的各种基本性质。并且讨论了一种很重要的群循环群。本文的最后详细讲解了群同态的一些性质及其应用。关键词：群、群的性质、循环群、群同态；Group and its simple propertiesAbstract：First the definition of group is given, and groups of all kinds of basic properties are discussed .and it discusses on an important group of cyclic group. at the end of
2、 this article some properties and applications of the group of homomorphism are discussed in detail.Key Words：group, the properties of group, cyclic group，group of homomorphism；0 前言：近世代数（modern algebra）又称为抽象代数（abstract algebra），它的研究对象是代数系统，所谓代数系统，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。由于代数系统中运算个数以及对运算所要求的
3、附加条件不同，从而产生了各种不同的代数系统，这就形成了近世代数各个不同的分支。其中最基本、最重要的分支是：群论、环论和域论，其中群论是基础。体系的性质取决于一些基本定律(如闭合律、结合律、交换律、分配律、零和单位元素、负和逆等)中有哪些成立。人们研究满足某些特定定律的抽象体系，而群是现代代数学中最基本、最重要的代数系，是一个非常活跃的领域，也是目前研究成果最丰富、研究最广泛的代数系。群，简而言之是对某种运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆这些定律的代数系。这一代数系的提出，对于当代数学及其它领域有着不可估量的作用，是代数发展史上由古典代数进入近世代数的里程碑。1 群的基本概念1.1 群的定义
4、定义1 设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算满足：(1)结合律：对，有。则称G是一个半群，记作。若还满足：(2)存在单位元使对，有；(3)对有逆元，使，则称是一个群。当二元运算“”为通常的加法时，称为加法群或加群；当二元运算“”为通常的乘法时，称为乘法群或乘群。定义中条件(2)可改为：有一个左单位元（或右单位元），使（或），对成立。因为由此可推出。定义中条件(3)可改为：对，有一个左逆元（或右逆元），使（或）成立。因为由此可推出。1.2 群定义的应用 定理1 半群是群的充要条件是：对，方程和在G中均有解。定理2 半群是群的充要条件是左、右消去律都成立：，。如果半群中含有单位元，则称为含
5、幺半群。如果群适合交换律：对，有，则称G为可换群或阿贝尔(Abel)群。 通常把群的定义概括为四点：封闭性、结合律、单位元和逆元。如果一个群G是个有限集，则称G是有限群，否则称为无限群。G的元素个数称为群的阶。例1：是整数模n的同余类集合，在中定义加法（称为模n的加法）为。由于同余类的代表元有不同的选择，我们必须验证以上定义的运算结果与代表元的选择无关。设，则有，所以模的加法是中的一个二元运算。显然，单位元是，的逆元是。所以是群。例2：设，在中定义乘法（称为模n的乘法）为。对这个运算不仅需要检验它的唯一性，而且要检验它的封闭性，因为由，得出并不明显。先证封闭性：因为由和，所以。再证唯一性：设，
6、则有， 所以模n的乘法是中的一个二元运算。结合律显然满足。单位元是。对，由知，使，因而有，即，所以，即中每一元素均有逆元。综上，对模n的乘法构成群。的阶数为欧拉函数：小于n并与n互素的正整数的个数。1.3 群的基本性质(1)群中单位元是唯一的证明：设G中有两个单位元和，则有：，所以单位元是唯一的。在不致混淆的情况下，单位元简记为1。(2)群中每个元素的逆元是唯一的证明：设，有两个逆元和，则有：，所以的逆元是唯一的。的逆元有以下性质：(1)；(2)若可逆，则也可逆，且有；(1) 若可逆，则也可逆，且有。2 子群定义2 设S是群G的一个非空子集，若S对G的运算也构成群，则称S是G的一个子群，并记作
7、：。当且时，称S是G的真子群，记作。定理3 设S是群G的一个非空子集，则以下三个命题互相等价：()S是G的子群；()对，有和；()对，有。当然，若群的有限子集做成子群的充要条件是对的乘法封闭，即：有。事实上，必要性是显然的，下证充分性。设对的乘法封闭，则对中任意元素和任意正整数有。由于中每个元素都有限，设，则，从而，亦即又有.故。2.1 不变子群的定义设是群的一个子群，如果对中每一个元素都有，即，则称是群的一个不变子群（或正规子群）。若是群的一个不变子群，则简记为.若且,则记为。定理1 设是群，。则是群的一个不变子群的充要条件是.证明是显然的。3 循环群3.1 循环群的定义设G是群，令：，因为
8、，有，所以H是G的子群，此子群称为由生成的循环子群，记作，称为它的生成元。若G=，则称G是循环群。循环子群是由一个元素生成的，由几个元素或一个子集也可生成一个子群。定义3 设S是群G的一个非空子集，包含S的最小子群称为由S生成的子群，记作，S称为它的生成元集。如果，且任何S的真子集的生成子群均不是G，则称S是G的极小生成元集。任何一个生成子群都有一个极小生成元集。当时，元素个数最少的生成元集称为最小生成元集。例3 整数加群是无限循环群。事实上，又对任意整数，有，故,即是一个无限循环群，是它的一个单位元。另外易知，也是它的一个单位元。定理1 设为任一循环群，则 当时，为无限循环群，且与整数加群同
9、构;当时，为阶循环群，那么G与模n的剩余类加群同构。证明 第一个情形：的阶无限，这时，当而且只当h=k的时候。由h=k，可得，显然。假如而，我们可以假定hk，而得到，与的阶是无限的假定不合。这样，是G与整数加群间的一一映射。但所以 第二种情形：的阶是n，这时，当而且只当的时候。假如，那么，假如，叫，那么由阶的定义，r=0, 也就是说，。这样，是G与剩余类加群间的一一映射。但所以 3.2 循环群的性质性质1 : 任何循环群都是群。性质2 : 所有无限循环群彼此同构，具有给定阶数的所有有限循环群也彼此同构。事实上: 如果任何一个元素使整数和它相对应, 则一个以元素为生成元的无限循环群即可相互单值地
10、映射到整数加群上; 至于这个映射之为同构映射则由这样一个事实看出, 即元素的幂相乘时, 它们的指数相加。用同样方法可得任何阶循环群到次单位根群上的同构映射。性质3 : 循环群的任一子群仍为循环群。事实上, 假设是一个以元素为生成元的无限或有限阶循环群, 而为中不等于的子群, 再假定包含在中的元素 的最低正幂为 , 这时有。假定同时还包含一个元素且不能被 所整除, 这时, 如果，d是和的最大公约数, 就有两个这样的整数和与存在, 使得 , 因此应包含元素但因; 所以我们得出的结果和元素的选择相矛盾。因此。性质3 说明:如果某一群有子群不是循环群, 那么 一定不是循环群。 群如果是某一循环群的子群
11、, 则它必是循环群。但若, 群的所有真子群均为循环群, 本身可以不是循环群。如几何毕中著名的四元群。性质4 : 若是循环群的子群, 则它们的交群也是循环群。性质5 : 循环群的阶数是它所有元素阶数的最小公倍数。事实上, 由定理可知, 中每个元素的阶数都是的约数, 所以是它们的公倍数。设为中所有元素的阶数的任一公倍数, 则中每一个元素的阶都能整除。由于有阶为的元, 所以, 这说明是中所有元素的阶数的最小公倍数。4 群的同态4.1同态的定义 设，是两个群，到的一个映射f是到的一个同态映射，如果对于任意的a,b，均有f(ab)=f（a）f(b)。注：（1）若到的同态映射f是到的满射，则说f是到的满同
12、态，记为，这是称为在f（作用）下的同态象。 （2）若到的同态映射f是到的单射，则说f是到的单一同态。 （3） f既是到的满同态又是到的单一同态，则说f是到的同构映射，记为。4.2 同态的简单性质 同态的基本定理：设是一个群，则的一个商群/N与同态；反之，若和是两个群，并且和同态，那么这个同态满射的核N是的一个不变子群，并且/N。注：定理前一部分告诉我们，一个群和它的每一个商群同态；定理后面部分告诉我们，抽象的来看，只能和它的商群同态，所以我们可以说定理后面部分是定理前一部分的反面。我们知道，当群和同态的时候，的性质并不同的完全一样，但定理后面部分告诉我们，这时我们一定找得到的一个不变子群N，使
13、得的性质和商群/N的完全一样。从这里我们可以看出不变子群和商群的重要意义。 定理一（同态的基本定理）：设是一个群，则的一个商群/N与同态；反之，若和是两个群，并且和同态，那么这个同态满射的核N是的一个不变子群，并且/N。证明： (1) 我们规定一个法则 ()这显然是到/N的一个满射，对于的任意两个元和b来说，b= () () 所以它是一个同态映射。 (2) 我们用f来表示给的同态满射，假定和是的任意两个元，那么在f之下，因此， =这就是说， ，是的一个子群，假定,，而且在f之下，那么在f之下 ，n=这就是说， ,n是的一个子群。现在规定一个法则g: = g() ()我们说，这是一个/N与间同构
14、映射。因为： （1）= =这就是说，在g之下/N的一个元素只有一个唯一的象；（2）给了的一个任意元，在里至少有一个元满足条件g(a)=由g的定义这就是说，g是/N到的满射。 （3） （4）在g之下，= 这样 /N 定理二：若和是两个群，并且和同态。那么在这个同态满射之下的 （1）的一个子群的象是的一个子群； （2）的一个不变子群的象是的一个不变子群。证明：我们用f来表示给定的同态满射（1）假定和是的任意两个元，并且在f之下， （）那么在f之下但由于是子群，因此由于是在f之下的象，。这样， 是的一个子群。（2）既是一个不变子群，由（1）知，我们知道是一个子群。假定是的任意元，是的任意元，而且在f之下， （）那么在f之下但由于是一个不变子群，n，因此由于是在f之下的象，。这样，是的一个不变子群，证毕。定理三：若和是两个群，并且和同态。那么在这个同态满射之下的（1）的一个子群的逆象是的一个子群；（2）的一个不变子群的逆象是的一个不变子群。证明：我们用f来表示给定的同态满射（1）假定和是的任意两个元，并且在f之下，那么由于是的逆象，因而，但在f之下所
