小专题（一）求锐角三角函数值的常用方法方法1 定义法 直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可1.如图所示，在△ ABC中，/ C= 90°,4sinA = , AB= 15，求△ ABC的周长和tanA的值.5小 . BC 4 解：T sinA = = , AB= 15,AB 54 4bc= -AB^-X 15= 12.5 5.AC= AB"-BC = 9.•••△ ABC的周长为 9 + 12+ 15 = 36,tanA =辽12ACT ~943.方法2设参数法若已知两边的比值或一个三角函数值，而不能直接求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数公式计算它们的比值，即可得出三角函数值.2.如图,在 Rt△ ABC中，/ BAC= 90°，ADLBC 于点 D.若 BD： CD= 3 : 2，贝U tanB = (D)3A.qC逅C. 2B.D.泰安）如图，在矩形 ABCD中, AB= 6，BC= 10,将矩形ABCD沿 BE折叠，点A落在A'处. 若EA的延长线恰好过点 C,则sin / ABE的值为3. (20194.如图，在 Rt △ ABC中，/ C= 90°，/ BAC的平分线交 BC于点E，EFL AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF > BF）.(1)求证：△ ACE^A AFE⑵求tan / CAE的值.解：（1）证明：T AE 是/ BAC 的平分线，ECL AC, EFL AF,• CE= EF.在 Rt△ ACE和 Rt△ AFE 中,CE= FE,AE= AE,第#页••• Rt△ AC專Rt△ AFE(HL).(2)由(1)可知△ ACE^A AFE• AC= AF.设 BF= m 贝U AC= AF= 2m •- AB= 3m.• BC= AE2—AC =-^901 — 4m = 5m.AC 2m 2 •••在 Rt△ ABC中，tanB = z~\= = -BC石m石亠 人 亠 2m在 Rt△ EFB 中，EF= BF- tanB =—,2m• CE= EF=——.2m在 Rt△ ACE中，tan / CA= CC=疵=¥，• tan / CAE= J.5方法3等角转换法 若要求的角的三角函数值不容易求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直接求转化后的角的三 角函数值•5.如图，A, B, C三点在正方形网格线的交点处，若将△ ABC绕着点A逆时针旋转得到厶AB' C',则tanB '的值为(B)1A.B.1C.4D.13二436.如图，在 Rt△ ABC中，/ ACB= 90°, AC= 8, BC= 6, CDLAB 垂足为 D,贝U tan / BCD的值是-.7.如图，在△ ABC中，/ ACB= 90°, AC= BC= 4,将厶ABC折叠，使点 A落在BC边上的点 D处，EF1为折痕.若AE= 3,则sin / BFD的值为3.8.如图，点E在正方形 ABCD勺边AB上，连接DE过点C作CF丄DE于F,过点A作AG/ CF交DE于点G.(1)求证：△ DCF^A ADG⑵ 若点E是AB的中点，设/ DCF= a ,求sin a的值.解：(1)证明：在正方形 ABCD中, AD= DC / ADC= 90°,•「CF丄 DE•••/ CFD=Z CFG= 90°.•/ AG/ CF,•••/ AGD=Z CFG= 90°.•••/ AGD=Z CFD.又•••/ ADG-Z CDE^Z ADC= 90°,/ DC—Z CD匡 90°,• Z ADG=Z DCF.在厶DCF和厶ADG中,Z DFC=Z AGDZ DCF=Z ADGDC= AD,•••△ DCF^A ADG(AAS).⑵设正方形 ABCD勺边长为2a.•••点E是AB的中点，1• AE^= —x 2a= a.2在 Rt△ ADE中，DE= AD2+ = (2a) 2+ a2= 5a,第#页• sin Z ADG=AE= _a_=& DE=_ 5a =牙._5vZ ADG=Z DCF= a ,• sin a =5方法4构造直角三角形法 若要求三角函数值的角不在直角三角形中，则需要我们根据已知条件构造直角三角形解决9.在平面直角坐标系中，已知点5c也C. 2A(2 , 1)和点 B(3 , 0)，则 sin Z AOB的值等于(A)B.D.,52121.若厶ABC的三个顶点在图中相应的格110.如图，在8X4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是点上，则tan Z ACB的值为(A)B..311.如图，在 Rt△ ABC中，/ B= 90°,/ A= 30° .以点A为圆心，BC长为半径画弧，交 AB于点D,分别以点A, D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE, DE则/ EAD的余弦值是（B）3 一1233B.D.12. （2019 •贵港）如图，点P在等边△ ABC的内部，且PC= 6, PA= 8, PB= 10,将线段 PC绕点 C顺3时针旋转60°得到P' C,连接AP，则sin / PAP的值为=.5。