5ï5ï55ï55ï5í第 100 炼 利用同构特点解决问题一、基础知识：1、 同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、 同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程f (a)=0和f (b)=0呈现同构特征，则a , b可视为方程f (x)=0的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个 函数，进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用：如果A (x, y ),B(x,y1 1 22)满足的方程为同构式，则A, B为方程所表示曲线上的两点特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程（ 4 ）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 (a , n -1)的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解n -1(a, nn)与二、典型例题：例 1：（2015 天津十二校联考）设x, y ÎRì(x-1)+2x+sin (x-1)=3 ，满足 íïî(y-1)+2y+sin(y-1)=1，则x +y =（ ）A.0B.2C.4D.6思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非x, y， 而 是(x-1)(,y-)1， 进 而 可 变 形 为ì(x-1)5+2(x-1)+sin(x-1)=1 íïî(y-1)+2(y-1)+sin(y-1)=-1，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性 质求解ì(x-1)+2x+sin (x-1)=3 解： íïî(y-1)+2y+sin(y-1)=1Þì(x-1)+2(x-1)+sin(x-1)=1 íïî(y-1)+2(y-1)+sin(y-1)=-1设f (t)=t5+2t +sin t，可得f (t)为奇函数，由题意可得：ìïf(x-1)=1 ïîf(y-1)=-1\ f (x-1)=-f(y-1)()ê úï() ()ïï() ()ï)[11çúæç()2\ x -1 =-(y-1)Þx+y=2 答案：B例 2：若函数f (x)=x -1 +m 在区间 [a,b]上的值域为éa b ù, b >a ³1 ë2 2 û，则实数 m 的取值范围是_____________思路：注意到f(x)是增函数，从而得到ìa b ï f a = , f b = ，即 í2 2ïîa -1 +m =b -1 +m =a2b2，发现两个式子为a , b的同构式，进而将同构式视为一个方程，而a , b为该方程的两个根，m的取值只需要保证方程有两根即可解：f(x)为增函数ìa b ï \ f a = , f b = Þ í2 2ïîa -1 +m =b -1 +m =a2b2\ a , b为方程x -1 +m =x x在 1,+¥上的两个根，即 m = - x -1 2 2有两个不同的根令t =x -1 (t³0)Þx=t2+1所以方程变形为：m =(t2+1)-t=(t2-2t+1)，结合图像可得： 2 2æ 1 ùm Î 0,è 2 û答案：m Î 0,è12ùúû例 3：设a, b R，则| “a > b”是“a a > bb”的（ ）A. 充分不必要条件 C. 充要条件B. 必要不充分条件D. 既不充要又不必要条件思路：观察a a > b b可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数f (x)=xx，分析其单调性。
ìïx2,x>0f x =x x =íïî-x,x<0可得f (x)为增函数所以a > b ? f (a )f (b)，x()x x即a > b ? a ab b，所以是充要条件答案：C例 4：若0 ln x -ln x 2 1B.ex1-ex2>ln x -ln x 2 1C.x e2x1>x e1x2D.x e2x1ln x -ln x Û e2 1x2-ln x >e 2x1-ln x ，设 f1(x)=ex-ln x1 xe x -1\ f ' x =e x - =x x，设g (x)=xex-1，则有g ' (x)=(x+1)ex>0恒成立，所以g (x)在(0,1)单调递增，所以g (0)=-1<0,g(1)=e-1>0，从而存在x Î(0,1) 0，使得g (x0)=0，由单调性可判断出：x Î(0,x ),g' (x)<0Þf0'(x)<0,xÎ(x,1),g'(x)>0Þf0'(x)>0， 所 以f (x)在(0,1)不单调，不等式不会恒成立B 选项：e 1 -e2>ln x -ln x Û e2 1x1+ln x >e 1x2+ln x ，设 f2(x)=ex+ln x 可知 f(x)单调递增。
所以应该f (x1)x e1x2Ûe x1 e x2 >x x1 2， 构 造 函 数f (x)=e xx，f'(x)=(x-1)e x 2x， 则f'(x)<0 在 x Î(0,1)恒成立所以f(x)在(0,1)单调递减，所以f(x1)> f(x2)成立D 选项：x e2x1
所以fæ2015 ö æ2013 ö ç ÷ ç ÷è ø è ø2015 20132 2æ1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷è ø è ø1 1-2 2因为f (x)为偶函数，所以fæ1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷è ø è ø，由fæ1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷è ø è ø=1 1-2 2可得fæ1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷è ø è ø，进而fæ2015 öç ÷è ø2015=0 Þ fæ2015 öç ÷è ø=02答案：A例 6：如果cos5q-sin5q<7 (sin3q-cos3q),qÎ 0,2 p，那么q的取值范围是________思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将。