2020 年高考理科数学《立体几何》题型归纳与训练【题型归纳】题型一线面平行的证明1例 1 如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AM＝CD＝ AB＝1.现将△AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD⊥平面 MBCD，3连接 AB，AC.试判断：在 AB 边上是否存在点 P，使 AD∥平面 MPC?并说明理由1【答案】当 AP＝ AB 时，有 AD∥平面 MPC.3理由如下：连接 BD 交 MC 于点 N，连接 NP.DN DC 1在梯形 MBCD 中，DC∥MB， ＝ ＝ ，NB MB 2AP 1在△ADB 中， ＝ ，∴AD∥PN.PB 2∵AD 平面 MPC，PN 平面 MPC，∴AD∥平面 MPC.【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出此类题的难点就是如何构造辅助线构造完辅助线， 证明过程只须注意规范的符号语言描述即可本题用到的是线线平行推出面面平行易错点】不能正确地分析 DN 与 BN 的比例关系，导致结果错误思维点拨】此类题有两大类方法：1. 构造线线平行，然后推出线面平行此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系在此，我们需要借助倒推法进行分析。
首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此为前提可以得到线面平行再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可如本题中即是过 AD 做了一个平面 ADB 与1平面 MPC 相交于线 PN最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可即先证 AD 平行于 PN，最后得到结论构造交线的方法我们可总结为如下三个图形PA BA BA BααDED EC DP方法一方法二方法三2. 构造面面平行，然后推出线面平行此类方法辅助线的构造通常比较简单，但证明过程较繁琐，一般做为备选方案辅助线的构造理论同上 我们只须过已知直线上任意一点做一条与已知平面平行的直线即可可总结为下图A BCα方法一例 2 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB⊥平面 BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点．求证：GF∥平面 ADE；【答案】解法一： (1)证明：如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，又 G 是 BE 的中点，21所以 GH∥AB，且 GH＝ AB.2又 F 是 CD 的中点，1所以 DF＝ CD.2由四边形 ABCD 是矩形得，AB∥CD，AB＝CD，所以 GH∥DF，且 GH＝DF，从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF∥DH.又 DH⊂平面 ADE，GF⊄平面 ADE，所以 GF∥平面 ADE.解法 2：(1)证明：如下图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF.又 G 是 BE 的中点，可知 GM∥AE.又 AE⊂平面 ADE，GM⊄平面 ADE，所以 GM∥平面 ADE.在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点得 MF∥AD.又 AD⊂平面 ADE，MF⊄平面 ADE，所以 MF∥平面 ADE.又因为 GM∩MF＝M，GM⊂平面 GMF，MF⊂平面 GMF，所以平面 GMF∥平面 ADE.因为 GF⊂平面 GMF，所以 GF∥平面 ADE.【解析】解法一为构造线线平行，解法二为构造面面平行。
易错点】线段比例关系【思维点拨】同例一题型二 线线垂直、面面垂直的证明例 1 如图，在三棱锥 P ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线 段 PC 上一点．(1) 求证：PA⊥BD；(2) 求证：平面 BDE⊥平面 PAC【答案】(1)证明：因为 PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B， 所以 PA⊥平面 ABC.3又因为 BD⊂平面 ABC，所以 PA⊥BD.(2)证明：因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又 AC∩PA＝A，所以 BD⊥平面 PAC.因为 BD⊂平面 BDE，所以平面 BDE⊥平面 PAC.【解析】(一)找突破口第(1)问：欲证线线垂直，应转化到证线面垂直，再得线线垂直；第(2)问：欲证面面垂直，应转化到证线面垂直，进而转化到先证线线垂直，借助 (1)的结论和已知条 件可证；(二)寻关键点有什么信息①：PA⊥AB，PA⊥BC信息②：AB＝BC，D 为 AC 的中点信息③：PA⊥BD信息④：平面 BDE⊥平面 PAC信息⑤：PA∥平面 BDE想到什么线面垂直的判定定理，可证PA⊥平面 ABC等腰三角形中线与高线合一，可得 BD⊥AC证明线线垂直，可转化到证明 一直线垂直于另一直线所在 平面，再由线面垂直的定义可得面面垂直的判定定理，线线垂 直⇒线面垂直⇒面面垂直 线面平行的性质定理，线面平 行，则线线平行，可得 PA∥DE注意什么(1) 证明线面平行的条件：一 直线在平面外，一直线在平面 内(2) 证明线面垂直时的条件： 直线垂直于平面内两条相交 直线(3) 求点到面的距离时要想到 借助锥体的“等体积性”【易错点】规范的符号语言描述，正确的逻辑推理过程。
思维点拨】(1)正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条 件直接应用．(2)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面4平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．(3)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解 决．(4)证明的核心是转化，空间向平面的转化，面面⇔线面⇔线线．题型三 空间向量例 1 如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形， ÐABD =ÐCBD ，AB=BD. (1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D AE C 的 余弦值．【答案】(1)证明：由题设可得，△ABD≌△CBD，从而 AD＝DC.又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC＝90°.取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 DO⊥AC，DO＝AO.又因为△ABC 是正三角形，所以 BO⊥AC.所以∠DOB 为二面角 D AC B 的平面角．在 AOB 中，BO2＋AO2＝AB2.又 AB＝BD，所以 BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面 ACD⊥平面 ABC.―→ ―→(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD 两两垂直．以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴正方向，| OA |为单位 长度，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．5ìïìïï111ìïì2ï2 2271由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的21 æ 距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得 Eç2 è3 1ö0， ， ÷2 2ø―→ ―→ ―→ æ 3 1ö .故 AD ＝(－1，0,1)， AC ＝(－2,0,0)， AE ＝ç－1， ， ÷è 2 2ø.设 n＝(x ，y ，z )是平面 DAE 的法向量， 1 1 1―→ ïn· AD ＝0，则í―→ în· AE ＝0，－x ＋z ＝0， 1 1即í 3 1 －x ＋ y ＋ z ＝0. î 2 2æ 可取 n＝çè1，3 ö，1÷3 ø.设 m＝(x ，y ，z )是平面 AEC 的法向量， 2 2 2―→ ïm· AC ＝0，则í―→ îm· AE ＝0，－2x ＝0，ï即í 3 1 －x ＋ y ＋ z ＝0， î 2 2可取 m＝(0，－1， 3)．n·m则 cos〈n，m〉＝ ＝|n||m|3－ ＋ 33 7＝ .21×23由图知二面角 D AE C 为锐角，所以二面角 D AE C 的余弦值为 【解析】(一)找突破口77.第(1)问：欲证面面垂直，应转化去证线面垂直或证其二面角为直角，即找出二面角的平面角，并求其 大小为 90°；第(2)问：欲求二面角的余弦值，应转化去求两平面所对应法向量的夹角的余弦值，即通过建系，求所 对应法向量来解决问题．(二)寻关键点有什么想到什么注意什么信息①：△ABC 为正三角形， △ACD 是直角三角形特殊三角形中的特殊的边角： (1)建系时要证明哪三条线两 △ABC 中三边相等，△ACD 中 两垂直，进而可作为坐标轴 的直角 (2)两平面法向量的夹角不一信息②：∠ ABD＝∠ CBD ，AB ＝BD边角相等关系可证两三角形 全等，进而可证 AD＝DC，∠ ADC＝90°定是所求的二面角，也有可能 是两法向量夹角的补角，因此 必须说明角的范围6信息③：证明：平面 ACD⊥平 面 ABC信息④：体积相等面面垂直的证明方法：几何法 或定义法由体积的大小关系转化到点 到面的距离的大小关系，进而 知点 E 为 DB 的中点【易错点】正确建立空间直角坐标系，确定点的坐标，平面法向量的计算。
思维点拨】1．利用空间向量求空间角的一般步骤(1) 建立恰当的空间直角坐标系；(2) 求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标；(3) 结合公式进行论证、计算；(4) 转化为几何结论．2．求空。