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1、15 函数模型及其应用知识梳理1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随着x的增大，图象与y轴接近平行随着x的增大，图象与x轴接近平行随n值变化而各有不同要点整合：理解
2、解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：题型一函数模型的选择例1.某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为()AyaxbByalogbxCyabxDyax2b解析：根据散点图可知，较适宜的函数模型为yalogbx，故选B.答
3、案B选择函数模型的基本思想(1)根据数据描绘出散点图；(2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象；(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合变式1某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据得到下面的散点图则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()AyaxbByabCyabxDyax2bxc解析：选B.根据散点图知，选择yab最适合，故选B.变式2某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种
4、植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_；(2)最低种植成本是_元/100kg.解析：随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t60和t180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Qat2btc，即Qa(t120)2m描述，将表中数据代入可得解得Q0.01(t120)
5、280，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.答案：(1)120(2)80题型二函数模型的应用例2. 已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解(1)在ykx(1k2)x2(k0)中，令y0，得kx(1k2)x20.由实际意义和题设条件知x0，k0.解以上关于x的方程得x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程是10千米(2)a0，炮弹可以击中目标
6、存在k0，使ka(1k2)a23.2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根，得解得a6.所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中它已知函数模型求解实际问题的三个步骤(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名称，并注意相关量之间的关系(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋势和最优问题(3)最后回归问题的结论变式1某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在3
7、3 的保鲜时间是()A20小时B22小时C24小时D26小时解析：选C.由已知条件，得192eb，所以bln 192.又因为48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，所以e11k.设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)319224.故选C.变式2某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额x(单位：万元)满足：f(x)aln xbx3(a，bR，a，b为常数)，且曲线yf(x)与直线ykx在点(1，3)处相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点(4，4)(1)分别求出
8、甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式；(2)已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均不少于10万元问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？(参考数据：ln 102.303，ln 152.708，ln 202.996，ln 253.219，ln 303.401)解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)且f(x)b，因为点(1，3)在直线ykx上，故有k3，又曲线yf(x)与直线y3x在点(1，3)处相切，故有得则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为f(x)3ln x3(x0)由题意设乙产品的利润与投资金额间的关
9、系式为：g(x)m，将点(4，4)代入上式，可得m2，所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为g(x)2(x0)(2)设甲产品投资x万元，则乙产品投资(40x)万元，且x10，30，则公司所得利润为y3ln x32，故有y，令y0，解得10x15，令y0，解得152)(2)因为x2，所以225x210 800.所以y225x36010 440.当且仅当225x时，等号成立即当x24时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元(1)通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口(2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系(3)在构建数学模型时，对
10、已知数学知识进行检索，从而认定或构建相关的数学模型 变式1某商场已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，售价为每件100元时可全部售完，售价每提高1元销量就减少5件，若要获得最大利润，售价应定为每件_元解析：设售价提高x元，获得的利润为y元，则依题意得y(1 0005x)(20x)5x2900x20 0005(x90)260 500.01 0005x1 000，0x200，故当x90时，ymax60 500，此时售价为每件190元答案：190变式2. 据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段
11、OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内台风所经过的路程s(km)(1)当t4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由解：(1)由图象可知，直线OA的方程是v3t，直线BC的方程是v2t70.当t4时，v12，所以s41224.(2)当0t10时，st3tt2；当10t20时，s1030(t10)3030t150；当20t35时，s150300(t20)(2t7030)t270t550.综上可知，s随t变化的规律是s(3)当t0，10时，smax102150650，当t(10，20时，smax3020150450650，当t(20，35时，令t270t550650，解得t30或40(舍去)，即在台风发生30 h后将侵袭到N城
