)5g 2021 北京海淀高三（上）期末数学2020.01本试卷共 8 页，150 分考试时常 120 分钟考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效考 试结束后，本试卷和答题纸一并交回第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 （1）抛物线 y 2 =x 的准线方程是（A）x =-12（B）x =-1 1 1（C） y =- （D） y =- 4 2 4（2）在复平面内，复数i1 +i对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）在 x -2 的展开式中， x4的系数为（A）5（B）-5（C）10（D）10（4）已知直线l : x +ay +2 =0，点 A（ -1，-1）和点B（2,2），若l // AB，则实数 a 的值为（A）1（B） -1（C） 2（D） -2（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（A） 2（B） 4（C）6（D）12（6）已知向量 a ，b满足a =1， b =（-2，1），且a -b =2，则a ×b=（A） -1（B）0（C）1（D） 2（7）已知 a ， b 是两个不同的平面，“a∥b”的一个充分条件是（A） a 内有无数直线平行于b（B）存在平面 ，a ^g，b^g第 1 页 共 18 页g O Oa 1 21 22 （C）存在平面 ，a g=m ， b g=n且 m∥n（D）存在直线 l ， l ^a ，l ^b（8）已知函数f ( x)（A）f ( x ) =1 -2sin 2( x + 是偶函数p4)则（B）函数f ( x)的最小正周期为 2π（C）曲线y = f ( x )关于x =-π4对称（D）f (1) > f (2)（9）数列{a}n的通项公式为a =nn2-3n，n ∈ N ，前 n 项和为 Sn，给出下列三个结论：①存在正整数m, n ( m ¹n )，使得 S =S mn；②存在正整数m, n ( m ¹n )，使得 a +a =2 a a ； m n m n③记， T =a a n 1 2a (1,2,3, )n则数列{T}有最小项，其中所有正 n确结论的序号是（A）①（B）③ （C）①③ （D）①②③（10）如图所示，在圆锥内放入连个球 ， ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点1 2圆（图中粗线所示）分别为⊙ C ,⊙C . 这两个球都与平面 相切，切点分别为 F ， F ，丹德林（G· Dandelin）利用这个模型证明了平面 a 与圆锥侧1 2面的交线为椭圆， F ， F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为 Dandelin1 2双球。
若圆锥的母线与它的轴的夹角为300，⊙ C , ⊙C 的半径分别为1,4，点 M 为⊙C 上的一个定点，点 P为椭圆上的一个动点，则从点 P沿圆锥表面到达 M 的路线长与线段 PF 的长之和的最小值是1（A）6（B）8（C） 3 3（D） 4 3第 2 页 共 18 页P a =0 lP a N 5 2 +8Ð MAN =90° t第二部分（非选择题 共 110 分）（11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融 合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如 图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有 16 人，则该样本中的高三学生人数为.（12）设等比数列{a }n的前 n 项和为 S .若 -S 、 S 、 a 成等差数列，则数列n 1 2 3{a }n的公比为.（13）已知双曲线x2-y 22=1的左右焦点分别为F , F ，点 M ( -3,4) 1 2，则双曲线的渐近线方程为 ； MF - MF =1 2;（14）已知函数f ( x)是定义域R的奇函数，且 x £0时，f ( x) =ae x -1，则 a =，f ( x)的值域是 ；（15）已知圆P : ( x -5)2+( y -2)2=2 ，直线 l : y =ax ，点 M (5,2 + 2) ，点 A( s , t ).给出下列 4 个结论：①当 ，直线 与圆 相离；②若直线 l 圆 P 的一条对称轴，则a =25；③若直线 l 上存在点 A ，圆 上存在点 N ，使得ÐMAN =90°20，则 的最大值为 ；21④ 为圆P上的一动点，若，则 的最大值为 .4其中所有正确结论的序号是.第 3 页 共 18 页三、解答题共 6 小题，共 85 分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 （16）（本小题共 15 分）在三棱柱ABC -A B C 中，侧面 BCC B 为矩形， AC ^平面BCC B 1 1 1 1 1 1 1,D, E 分别是棱 AA ， BB1 1的中点.（Ⅰ）求证：AE∥平面B C D1 1（Ⅱ）求证:CC ^平面ABC 1(Ⅲ)若AC =BC =AA =21,求直线 AB与平面B C D 1 1所成角的正弦值.（17）（本小题共 14 分）若存在 DABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解 答下列问题：（Ⅰ）求 ÐA的大小；（Ⅱ）求 cosB 和 a 的值.3 3条件①： sin C = ；14条件②：a =73c；条件③：b -a =1；条件④：b cos A =-52第 4 页 共 18 页第 5 页 共 18 页2 2 2 2 2 2 （18）（本小题共 14 分）某公司在 2013~2021 年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：年份2013 20142015 2016 2017 2018 201920202021年生产台数（单位：万台）年返修台数（单位：台）33243855465865297110801075ab年利润（单位：百万元）3.854.504.205.506.109.65 10.00 11.50c注：年返修率 =年返修台数 年生产台数.（Ⅰ）从 2013~2020 年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的概率；（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从 2013~2020 年中随机选出 3 年，记 z表示这 3 年中生产部门获得考核优秀的次数.求 z的分布列和数学期望；（Ⅲ）记公司在 2013~2015 年，2016~2018 年，2019~2021 年的年生产台数的方差分别为s 2 , s 2 , s 2 1 2 3.若s23£max{s 2 , s 2 1 2}，其中 max{s , s1 2}表示 s , s 1 2，这两个数中最大的数.请写出 a 的最大值和最小值.（只需写出结论）（注：s2=1n[( x -x ) 12+( x -x )22+×××(x-x) n2]，其中 x为数据x , x , ×××,x 1 2n的平均数）（19）（本小题共 14 分）x y 3已知椭圆 W : + =（1a >b >0）的离心率为 ，且经过点 C（2，3）.a 2 b 2 2（Ⅰ）求椭圆 W 的方程及其长轴长；（Ⅱ） A ， B 分别为椭圆W 的左、右顶点，点 D 在椭圆W 上，且位于 x 轴下方，直线 CD 交 x 轴于点 Q ，若 △ ACQ的面积比△BDQ的面积大 2 3 ，求点 D 的坐标.第 6 页 共 18 页第 7 页 共 18 页（20）（本小题共 14 分）已知函数f ( x ) =lnxx.（Ⅰ）求函数f ( x)的单调区间；（Ⅱ）设g ( x ) = f ( x ) -x，求证：g ( x) £-1；（Ⅲ）设 h ( x ) = f ( x ) -x2 +2 ax -4 a 2。