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1、课时跟踪检测(九) 二维形式的柯西不等式1已知a,bR且ab1,则P(axby)2与Qax2by2的大小关系是()APQBPQCPQ DPQ解析:选A设m(x,y),n(,),则|axby|mn|m|n| ,(axby)2ax2by2,即PQ.2若a,bR,且a2b210,则ab的取值范围是()A2,2 B2,2 C, D(,)解析:选A(a2b2)12(1)2(ab)2,a2b210,(ab)220.2ab2.3已知xy1,那么2x23y2的最小值是()A. B.C. D.解析:选B(2x23y2)()2()2(xy)2(xy)26,当且仅当x,y时取等号,即2x23y2.故2x23y2的最
2、小值为.4函数y2的最大值是()A. B.C3 D5解析:选B根据柯西不等式,知y12,当且仅当x时取等号5设xy0,则的最小值为_解析:原式xy29,当且仅当xy时取等号答案:96设a(2,1,2),|b|6,则ab的最小值为_,此时b_.解析:根据柯西不等式的向量形式,有|ab|a|b|,|ab|618,当且仅当存在实数k,使akb时,等号成立18ab18,ab的最小值为18,此时b2a(4,2,4)答案:18(4,2,4)7设实数x,y满足3x22y26,则P2xy的最大值为_解析:由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611,当且仅当x,y时取等号,故P2xy的最大
3、值为.答案:8已知x,yR,且xy2.求证:2.证明:(xy) ()2()222,当且仅当时等号成立,此时x1,y1.所以2.9若x24y25,求xy的最大值及此时x,y的值解:由柯西不等式得x2(2y)2(xy)2,即(xy)25,xy.当且仅当,即x4y时取等号由得或(舍去)xy的最大值为,此时x2,y.10求函数f(x)3cos x4的最大值,并求出相应的x的值解:设m(3,4),n(cos x,),则f(x)3cos x4 |mn|m|n|5,当且仅当mn时,上式取“”此时,3 4cos x0.解得sin x,cos x.故当sin x,cos x时f(x)3cos x4 取最大值5.