53 -第二章 稳态导热第二章 稳态导热从本章开始将讨论三种热量传递方式的基本规律分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究方法，即针对物理现象建立物理模型，而后从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的形式表达，故称数学模型)，接下来进行分析求解的理论分析方法采用这种理论方法，我们就能够达到预测传热系统的温度分布和计算传递的热流量的目的热传导问题是传热学中最易于采用上述方法处理的热传递方式因此，在这一章中我们能够针对热传导系统利用能量守恒定律和傅立叶定律建立起相应的导热微分方程，然后以简单的导热问题为例确立其微分方程和初、边值条件，从而分析求解其温度分布和热流量，以达到掌握分析简单传热问题的方法§2-1 基本概念1温度场温度场是指某一瞬间，空间(或物体内)所有各点温度分布的总称求解导热问题的关键之一是得到所讨论对象的温度场，由温度场进而可以得到某一点的温度梯度和导热量温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表示一般说，温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为：(2-1)依照温度分布是否随时间而变，可将温度场分为稳态温度场和非稳态温度场。
稳态温度场指稳态情况下的温度场，这时物体中各点温度不随时间改变，温度分布只与空间坐标有关：稳态温度场中的导热称为稳态导热，其温度对时间的偏导数为零非稳态温度场是指变动工作条件下的温度场，这时物体中各点温度分布随时间改变非稳态温度场中的导热称为非稳态导热，其温度对时间的偏导数不为零显然，非稳态导热的计算比稳态导热的计算更加复杂图2-1温度梯度与热流矢量、等温线(实线)与热流线(虚线)xDx依照温度在空间三个坐标方向的变化情况，又可将温度场分为一维温度场、二维温度场和三维温度场同一瞬间温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面在三维情况下可以画出物体中的等温面，而等温面上的任何一条线都是等温线在二维情况下等温面则变为等温曲线选择一系列不同且特定的温度值，就可以得到一系列不同的等温线或等温面，它们可以用来表示物体的温度场图由于同一时刻物体中任一点不可能具有两个温度值，因此不同的等温线或等温面不可能相交等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止在物体表面上物体中等温线较密集的地方说明温度的变化率较大，导热热流密度也较大温度的变化率沿不同的方向一般是不同的，如图2-1所示温度沿某一方向x的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来表示，即(2-2)在各个不同方向的温度变化率中，有一个方向的变化率是最大的，这个方向是等温线或等温面的法线方向。
在数学上用矢量—梯度来表示这个方向的变化率：(2-3)式中gradt 表示温度梯度；为等温面法线方向的温度变化率；n 为等温面法线方向的单位矢量, 指向温度增加的方向温度梯度是矢量, 其方向为沿等温面的法线指向温度增加的方向, 如图2-1所示在直角坐标系中，温度梯度可表示为：(2-4)其中，，分别为温度对x, y, z 方向的偏导数；i, j, k 分别为x, y, z方向的单位矢量若引入哈米尔顿(Hamilton)算子Ñ：(2-5)则：(2-6)2 傅里叶定律由第一章可知，当物体内部存在温度梯度时，能量就会通过热传导从温度高的区域传递到温度低的区域热流密度定义为单位时间通过单位面积的热流量，用q来表示，单位为W/m2经验发现，热流密度和垂直传热截面方向的温度变化率成正比热流密度也是矢量，其方向指向温度降低的方向，因而和温度梯度的方向相反傅里叶定律的一般形式为：(2-7)式(2-5)又称导热基本定律，或傅里叶定律的数学表达式，它可进一步表示为：(2-8)这样热流密度在x, y, z 方向的投影的大小分别为：(2-9)由于热流密度方向与等温线的法线方向总是处在同一条直线上，故热流线和等温线是相互正交的。
应该指出，如上形式的傅里叶定律只适用于各向同性材料，这时，不同方向上的导热系数是相同的而对各向异性材料，导热系数随选定的方向不同而不同各向异性材料中的傅里叶定律可参考文献[1]3导热系数导热系数（即热导率）是出现在傅里叶定律中的比例常数，它表示物质导热能力的大小，是重要的热物性参数由式(2-7)，导热系数的定义式为：(2-10)图2-2 大平壁的稳态导热由此可知, 导热系数在数值上等于温度梯度的绝对值为1 K/m 时的热流密度值，单位为W/(m×K)由x方向的傅里叶定律可以得出：绝大多数材料的导热系数都是根据上式通过实验测得的如根据一维稳态平壁导热模型，可以采用平板法测量物质的导热系数对于图2-2所示的大平板的一维稳态导热，流过平板的热流量与平板两侧温度和平板厚度之间的关系为：若通过实验测出了流过平板的热流量、平板两侧温度和平板厚度，则材料的导热系数就可以按下式计算为：(2-11)导热系数的测量，除了稳态方法外，也可以采用非稳态法测量[2]从微观角度看，气体导热、固体导热和液体导热在机理上是不同的按照热力学的观点，温度是物体微观粒子平均动能大小的标志，温度愈高，微观粒子的平均动能愈大当物体内部或相互接触的物体表面之间存在温差时，高温处的微观粒子就会通过运动（位移、振动）或碰撞将热量传向低温处。
例如气体中分子、原子的不规则热运动或碰撞；金属中自由电子的运动；非金属中晶格的振动等等所以，气体导热是分子不规则热运动时相互碰撞的结果固体导热可分为导电固体和非导电固体两种情况对导电固体，自由电子在晶格之间像气体分子那样运动而传递能量对于非导电固体，能量的传递依赖于晶格结构的振动，即原子、分子在平衡位置附近的振动液体的导热机理在定性上类似于气体，但比气体的情况要复杂得多，这时分子的距离更近，分子力场对碰撞引起的能量传递有强烈的影响也有的观点认为液体导热的机理类似于非导电固体本书只讨论热量传递的宏观规律，而不讨论导热的微观机理导热系数是物质的固有特性之一影响导热系数因素主要有物质的种类，物质所处的温度和压力，与材料的几何形状没有关系在—般工程应用的压力范围内，也可以认为导热系数与压力无关一些材料的导热系数可查阅文献[3，4]，工程上常用材料在特定温度下的热导系数见书后附录特殊材料或者特殊条件下的热导系数, 可查阅有关手册一般说来，金属材料的导热系数比非金属的导热系数要大得多导电性能好的金属, 其导热性能也好，如银是最好的导电体, 也是最好的导热体纯金属的导热系数大于其合金的导热系数这主要是由于合金中的杂质(或其它金属)破坏了晶格的结构, 并且阻碍自由电子的运动；例如，纯铜在20℃温度下的导热系数为398 W/(m×K), 而铜合金—黄铜的导热系数只有109 W/(m×K)。
对于同一种物质的三态, 固态的导热系数值最大, 气态的导热系数值最小，例如同样是在温度为0℃条件下, 冰的导热系数为2.22 W/(m×K), 水的导热系数为0.551 W/(m×K), 而水蒸气的导热系数为0.0183 W/(m×K)所以，气体的导热系数一般都很小导热系数最大的气体是氢气，常用来作为冷却介质图2-3 一些材料的导热系数随温度的变化图2-3所示是一些物质的导热系数随温度的变化情况大多数材料的导热系数对温度的依变关系可近似采用线性关系计算：式中l0为材料在0℃下的导热系数；b为由实验确定的温度常数，单位为1/℃，其数值与物质的种类有关若讨论的问题温差不是很大，可取所考虑温度范围内导热系数的平均值，并作为常数计算导热系数小于某一界定值的材料称为保温材料或绝热材料或隔热材料国家标准GB4272-92[5]中规定，将平均温度不高于350℃时导热系数小于0.12 W/(m×K)的材料定为保温材料像膨胀塑料、膨胀珍珠岩、矿渣棉等都是很好的保温材料常温下空气的导热系数为0.0257W/(m×K)，也是很好的保温材料保温材料的界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平20世纪50年代我国沿用前苏联标准，界定值为0.23W/(m×K)；到20世纪80年代，GB4272-84《设备及管道保温准则》规定为0.14W/(m×K)。
4导热微分方程由前面的分析可知，若知道了温度梯度，就可以由傅里叶定律求出热流密度故获得温度场是求解导热问题的关键导热微分方程是用数学方法描述导热温度场的一般性规律的方程，很多问题都可以通过求解微分方程而得到有效的解决将热力学基本定律—能量守恒定律和导热基本定律—傅里叶定律应用于微元控制体，可建立导热微分方程为了使分析简化, 可作下列假设：（1）所研究的物体是各向同性的连续介质；（2）物体内部具有内热源，内热源强度（即单位时间、单位体积的生成热）记作，单位为W/m3参考图2-4所示的微元平行六面体，能量守恒可以表示为：(2-12)其中dFin 为导入微元体的总热流量；dQ 为微元体内热源的生成热；dFout 为导出微元体的总热流量；dU为微元体热力学能(即内能)的增量导入微元体的热量为：(2-13)导出微元体的热量：(2-14)由傅里叶定律，导入微元体的热流量可表示为：(2-15)在所研究的范围内，热流密度函数q是连续的，所以可以展开成泰勒级数的形式：(2-16)其中dx为无穷小量, 所以可以近似地取级数的前两项, 即：(2-17)由此可得：这样导出微元体的热流量可表示为：(2-18)微元体热力学能的增量可表示为：(2-19)式中t 表示时间；r 和c分别为微元体的密度和比热容。
微元体内热源的生成热为：(2-20)将以上各式代入式(2-13)可得能量平衡为： (2-21)这是导热微分方程的一般形式等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量，通常称为非稳态项；右边的前三项是扩散项，是由导热引起，最后一项是源项在下列情况下导热微分方程可以得到简化：1） 导热系数为常数，这时式(2-22)为：(2-22)式中称为热扩散率，又叫导温系数从热扩散率a的定义可知，较大的a值可由较大的l 值或较小的rc值得到l 越大，单位温度梯度导入的热量就越多而rc是单位体积的物体升高1℃所需的热量若rc的值小，意味着温度升高1℃所需的热量越小，可以剩下更多的热量向内部传递由此可知，a越大，温度变化传播越迅速式(2-22)也可写成：(2-23)式中, Ñ2是拉普拉斯算子, 在直角坐标系中2） 无内热源，导热系数为常数，这时式(2-22)为：(2-24)这是常物性、无内热源的三维非稳态导热徽分方程3） 常物性、稳态、式(2-22)变为：(2-25)在数学上，式(2-25)称为泊桑（Poisson）方程这是常物性、稳态且有内热源的三维导热微分方程4） 常物性、稳态、无内热源：式(2-25)变为：(2-26)上式又叫拉普拉斯（Laplace）方程。
5） 园柱坐标系和球坐标系当所研究的对象是圆柱状(圆柱、圆筒壁等)物体时,采用圆柱坐标系( r，j，z)比较方便, 如图2-5所示采用和直角坐标系相同的方法, 分析圆柱坐标系中微元体在导热过程中的热平衡, 可推导出圆柱坐标系中的导热微分方程，结果如下：(2-27)当l为常数时, 上式可简化为：图2-6 球坐标系图2-5 圆柱坐标系。